Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Урок 27. Математическая индукция

Математическая индукция
Математическая индукция
Необходимо запомнить

ВАЖНО!

Неполная математическая индукция – это вывод, сделанный на основании проверки большого числа примеров.

Метод полной математической индукции или метод математической индукции:

1.Проверка справедливости утверждения при n = 1

2.Доказательство, что если утверждение верно для натурального числа n, то оно верно и для следующего за ним n+1.

Шаги доказательства методом математической индукции: проверка базы индукции; индуктивное предположение; индуктивный переход.

Математическая индукция

Пример:

Доказать, что для любого натурального значения $n$ справедливо равенство

$1^3+2^3+3^3+…+n^3=\frac{n^2 (n+1)^2}{4}$

1) При $n=1$ равенство верно $1^3=\frac{1^2(1+1)^2}{4}$

2) Предположим, что для некоторого натурального $n$ равенство верно. Докажем, что если равенство верно для некоторого $n$, то оно верно и для $n+1$, т.е.

$1^3+2^3+3^3+…+(n+1)^3=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}$

Прибавим к обеим частям верного по предположению равенства число $n$:

$1^3+2^3+3^3+$…$+n^3+(n+1)^3$= $\frac{n^2 (n+1)^2}{4}+(n+1)^3$

Преобразуем правую часть равенства:

$\frac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3$$=(n+2)^2(\frac{n^2}{4}+n+1)=(n+1)^2(\frac{n^2+4n+4}{4})=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}$

Таким образом, из справедливости равенства

$1^3+2^3+3^3+…+n^3+(n+1)^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3$

Следует справедливость равенства

$1^3+2^3+3^3+…+(n+1)^3=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}$

Предметы

По алфавиту По предметным областям

Классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6