Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Урок 27. Математическая индукция

Алгоритм метода математической индукции

Расположите в правильном порядке шаги выполнения доказательства:

Последовательность действий при использовании метода математической индукции

проверка верности для $n=1$

предположение верности для некоторого $n$

проверка для $n=n+1$

Последовательность действий при доказательстве методом математической индукции

Восстановите последовательность шагов доказательства. Докажите, что тождество $1+3+...2^{n−1}=n^2$ верно для

всех натуральных $n$.

Последовательность действий при использовании метода математической индукции

При $n=1$ получаем $1=1^2$

Предположим, что утверждение $1+3+...2n−1=n^2$ верно для некоторого натурального n.

Докажем, что тождество верно при $n=n+1$ $1+3+...2n+1= 1+3+...+2n−1+2n+1=n^2+2 n+1=$

Доказательство делимости выражения на число

Докажите, что $7^{n+1}+8^{2n−1}$ делится на $19$ без остатка, вставьте пропущенные элементы в доказательство.

$7^{n+2}+8^{2n+1}=7^{n+1} \cdot 7+8^{2n−1} \cdot 8^{2}=...$

1 При $n=1$ получаем $7$ $+8$ $=$ делится на

2 Предположим, что $7$ $+8$ делится на $19$

3 При $n=$ , докажем, что $7^{n+2}+8^{2n+1}$ делится на $19$.

$7^{n+2}+8{2n+1}=7$ $\cdot 7+8$ $\cdot 64 =$

$=7$ $\cdot 7+8$ $\cdot (57+7)=$

$=7$ $\cdot 7+8$ $\cdot 57+8$ $\cdot 7=$

$=7(7$ $+8$ $)+8$ $\cdot 57$

$^{2}$
$^{1}$
$57$
$19$
$^{n+1}$
$^{2n-1}$
$n+1$
$^{n+1}$
$^{2n-1}$
$^{n+1}$
$^{2n-1}$
$^{n+1}$
$^{2n-1}$
$^{2n-1}$
$^{n+1}$
$^{2n-1}$
$^{2n-1}$
Доказательство справедливости неравенства

Заполните пропуски, выбрав элемент из выпадающего списка.

Докажите, что при любом натуральном $n\geq 3$ справедливо неравенство $2^n\gt 2n+1$

Умножим обе части неравенства $2^n\gt 2n+1$ на 2

1 При n= получаем $8 \geq 7$ – верно.

2 Пусть утверждение верно при $n$= .

3 Докажем, что утверждение верно при n= .

$2n+1+2\lt 2^n+2\lt 2^n+2^n=2^{n+1}$ – утверждение верно при $n=$ . Следовательно, в силу принципа математической индукции неравенство справедливо при .

Вычисление суммы последовательности

Вычислите и выберите правильный ответ. Чему равна

сумма $1\cdot 2+2\cdot 3+ ...+n(n+1)$ для любых натуральных $n \geq 2$

$n (n+1)$

$n (n+1)(n+2)$

$\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

Доказательство делимости выражения на число

Докажите, что для любых натуральных n, число $a_n=n^3+3n^2+5n$ кратно 3, восстановив последовательность действий.

Используйте метод математической индукции, раскройте скобки

$(n^3$

$+3n$

$+5n )+3(n^2$

$+3n^2$

$+3)$

Математические термины

Найдите все слова, относящиеся к теме урока.

предположение, индукция, неравенство
Вычисление суммы последовательности

Выдвините гипотезу для данного примера, пользуясь методом неполной математической индукции, которую в последствии можно доказать с помощью метода полной математической индукции

Варианты ответов:

1) $1^3+2^3+. . . n^3=\frac{n^2 (n+1)^2}{4}$

2) $1+3+5+…+(2n-1) =n^2$

3) $n=n+1$

Использование метода математической индукции

Запишите выражение при $n=n+1$

Варианты ответов:

1)$\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$

2) $1^3+2^3+3^3+...+n^3+(n+1)^3=(\frac{(n+1)(n+2)}{2})^2$

3) $2(n+1)^3-3(n+1)^2+(n+1)$

4) $( n+1)+( n+2)+…+(3n-2)+( 3n-1)+ 3n +(3n+1) =(2n+1)^2$

Воспользуйтесь методом математической индукции
Метод математической индукции

Сопоставить задание с проверкой равенства при n=1

Воспользуйтесь методом математической индукции
Последовательность действий при доказательстве методом математической индукции

Расположите в верном порядке действия метода математической индукции для следующего задания и получите картинку:

Доказать, что при любом n справедливо утверждение: $1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Предположим, что при n = n верно (1)

При n = 1 получаем (2)

Рассмотрим данное утверждение при (3) : (4)

Воспользуйтесь методом математической индукции
Доказательство делимости выражения на число

Доказать, что при любом натуральном n число an делится на b, если $a_n =2n^3+3n^2+7n$, $b=6$

Воспользуйтесь методом математической индукции

1. При n = 2 + 3 + 7 = 12 делится на .

2. Пусть при любом натуральном n сумма $2n^3+3n^2+7n$ делится на 6.

3. Докажем, что при сумма так же делится на 6.

Математическая индукция

Выполнив действия, поставьте в соответствие ответ:

Воспользуйтесь методом математической индукции
Математическая индукция

Выделите верное доказательство для $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n} \gt \frac{13}{24}$ при $n\gt 1$

A)

1) При n = 2, $\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\gt \frac{13}{24} -\gt \frac{14}{24}\gt \frac{13}{24}$

2) Пусть неравенство верно для любого n+2, $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}\gt \frac{13}{24}$

3) Докажем, что неравенство верно для n+1 Т.е. $\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+...+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2(n+1)}\gt \frac{13}{24}$

4) Оценим левую часть, учитывая 2 шаг индукции. Получим: $\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+...+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2(n+1)}\gt \frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+...+\frac{1}{2n}...$

Таким образом, неравенство $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}\gt \frac{13}{24}$ .

Следовательно, исходное неравенство выполняется для любого натурального $n\gt 1$

B)

1) При n = 1, $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\gt \frac{13}{24} -\gt \frac{20}{24}\gt \frac{13}{24}$

2) Пусть неравенство верно для любого n, $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}\gt \frac{13}{24}$

3) Докажем, что неравенство верно для n+1 Т.е. $\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+...+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2(n+1)}\gt \frac{13}{24}$

4) Оценим левую часть, учитывая 2 шаг индукции. Получим: $\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+...+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2(n+1)}\gt \frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+...+\frac{1}{2n}...$

Таким образом, неравенство $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}\gt \frac{13}{24}$ .

Следовательно, исходное неравенство выполняется для любого натурального $n\gt 1$

Воспользуйтесь методом математической индукции

Выберите правильное доказательство

  1. A
  2. B
Оранжевый

Предметы

По алфавиту По предметным областям

Классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6 angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6