Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Урок 32. Сочетания с повторениями

Сочетания с повторениями
Сочетания с повторениями
Необходимо запомнить

ВАЖНО!


Комбинаторика – раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов) и отношения (например, частичного порядка).

В комбинаторике конечное упорядоченное множество называется перестановкой без повторения, а их число обозначают $Р_n$.

Перестановки элементов одного и того же множества отличаются только порядком расположения элементов друг относительно друга.

$P_n=1⋅2⋅3⋅4⋅…⋅(n−1)⋅n$

Если элементы множества расставлены по кругу, то это так называемые перестановки n элементов по кругу. Их количество равно $(n−1)!$

Если множество содержит одинаковые элементы, то подсчет количества перестановок с повторениями производится следующим образом: элементы первого типа можно переставить между собой $P_{n1}=n_{1}!$ ($n_1$количество таких элементов) способами, второго типа – $P_{n2}=n_2!$ способами, $k$-го типа $P_{nk}=n_{k}!$ - способами. Значит, число перестановок с повторениями меньше $n!$ в $n_{1}!⋅n_{2}!⋅…⋅nk!$ раз, чем число перестановок без повторения, то есть это число равно

$\overline P_{n} =\overline P_{n1,n2,…nk}=\frac{n!}{n_{1}!⋅n_{2}!⋅…⋅n_{k}}!$

Размещения 

В комбинаторике упорядоченные подмножества данного множества называются «размещениями из $n$ элементов на $k$ мест» или, проще: «размещениями из $n$ по $k$».

$A_n^k=n\cdot (n−1)\cdot (n−2)\cdot …\cdot (n−k+1)$

Выбор m элементов из множества, содержащего n элементов с повторением и с упорядочиванием выбранных элементов в последовательную цепочку называют размещениями с повторениями из n элементов по m, а общее число обозначают $\overline A_m^n$

В комбинаторике подмножества данного множества называются «сочетаниями из n по k элементов» или, проще: «сочетания из n по $k$».

$C_k^n=\frac{A_{k}^{n}}{k!}=\frac{n!}{k!(n−k)!}$

Сочетания с повторениями

Задача:

При подготовке новогодних подарков закупили 5 видов шоколадок. Сколькими способами можно разложить их по 7 штук в подарки?

Решение:

Порядок выбора шоколадок не важен. В наборах будут повторения.

Значит, пользуемся формулой сочетания с повторениями:

$${\overline {C}}_{n} ^{m} = {C} _ {m+n-1} ^{m} = \frac{(m+n-1 ) !} {m!\cdot(n-1 ) !}$$

Подставляем данные и получаем ответ:

$${\overline {C}}_{5}^{7} =\frac { (5+7-1 ) !} {7 ! (5 -1 ) !} = \frac{11!} {7 ! 4 !} = 330$$

Ответ: 330

Предметы

По алфавиту По предметным областям

Классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6