ВАЖНО!

Проводятся $n$ одинаковых независимых испытаний с двумя исходами $А$ или $Ā$. Вероятности $P(А)=p$ и $P(Ā)=1−p=q$ постоянны и отличны от нуля.

По теореме умножения вероятностей независимых событий для каждого элементарного события найдем вероятность, равную произведению вероятностей результатов отдельных испытаний: $p^{k}q^{n−k}$, где $k$ – количество опытов, в которых произошло событие $A$, $(n−k)$ – количество опытов, в которых произошло событие $Ā$.

Якоб Бернулли впервые доказал, что вероятность того, что событие $A$ наступит ровно $k$ раз из $n$, равна $P(k)=C^{k}_{n}p^{k}q^{n−k}$, $C^{k}_{n}=n!/(k!(n−k)!)$ – число сочетаний из $n$ по $k$.

Эта формула называется формулой Бернулли, а модель, описывающая совокупный результат $n$ независимых испытаний с двумя исходами $(А$ или $Ā)$ называется схемой Бернулли.

При постоянном значении $n$ вероятность $P_n(k)$ зависит от $k$. Достаточно часто требуется определить наиболее вероятное значение $k = k_0$, при котором вероятность $P_n(k)$ максимальна. Для этого используется следующее неравенство:

$np – q ≤ k_0 ≤ np – q +1$ или, с учётом $q = 1 – p$

$np + p – 1 ≤ k_0 ≤ np + p$

Если $np+p$ оказывается целым, наиболее вероятных значений получается два.