ВАЖНО!

В основе преобразований различных видов выражений лежит преобразований алгебраических выражений. При преобразовании алгебраических выражений используем:

• действия с алгебраическими дробями;
• формулы сокращенного умножения;
• свойства степеней с рациональным показателем;

При преобразовании логарифмических и тригонометрический выражений в некоторый случаях удобно сделать замену переменных для того, чтобы привести эти выражения к алгебраическому виду.

Если в ходе преобразований получаются выражения, стоящие под знаком модуля, то возможно получение неоднозначного результата.

Вычислите: $cos {20} ^ {0} \cdot cos {40} ^ {0} \cdot cos {80} ^ {0}$

Умножим и разделим выражение на $2 sin α$

$$\frac{2 sin {20} ^ {0} cos {20} ^ {0} cos {40} ^ {0} cos {80} ^ {0}} {2 sin {20} ^ {0}}$$

Воспользуемся формулой синуса двойного угла

$$\frac{sin {40} ^ {0} cos {40} ^ {0} cos {80} ^ {0}}{2 sin {20} ^ {0}}$$

Умножим и разделим числитель и знаменатель дроби на 2 и опять применим формулу двойного угла

$$\frac {sin {80} ^ {0} cos {80} ^ {0}}{4 sin {20} ^ {0}}$$

Повторим эту операцию еще два раза:

$$\frac{sin {160} ^ {0}}{8 sin {20} ^ {0}} = \frac{sin ({180} ^ {0} - {20} ^ {0} )}{8 sin {20} ^ {0}}= \frac{sin {20} ^ {0}}{8 sin {20} ^ {0}} = \frac{1} {8}$$

Отличительным признаком исходного выражения является:

• произведение трех косинусов
• аргументы отличаются ровно в два раза. Результат равен:

$$\frac{1} {8} = \frac{1} {{2} ^ {3}}$$

При соблюдении указанных условий, полученный результат можно обобщить: сколько косинусов с возрастающим в два раза аргументом мы перемножаем в исходном примере, в такую степень и возводим одну вторую.