Алгебра и начала математического анализа. 11 класс
Преобразование выражений
Преобразование выражений
Необходимо запомнить
ВАЖНО!
В основе преобразований различных видов выражений лежит преобразований алгебраических выражений. При преобразовании алгебраических выражений используем:
- действия с алгебраическими дробями;
- формулы сокращенного умножения;
- свойства степеней с рациональным показателем;
При преобразовании логарифмических и тригонометрический выражений в некоторый случаях удобно сделать замену переменных для того, чтобы привести эти выражения к алгебраическому виду.
Если в ходе преобразований получаются выражения, стоящие под знаком модуля, то возможно получение неоднозначного результата.
Преобразование выражений
Вычислите: $cos {20} ^ {0} \cdot cos {40} ^ {0} \cdot cos {80} ^ {0}$
Умножим и разделим выражение на $2 sin α$
$$\frac{2 sin {20} ^ {0} cos {20} ^ {0} cos {40} ^ {0} cos {80} ^ {0}} {2 sin {20} ^ {0}}$$
Воспользуемся формулой синуса двойного угла
$$\frac{sin {40} ^ {0} cos {40} ^ {0} cos {80} ^ {0}}{2 sin {20} ^ {0}}$$
Умножим и разделим числитель и знаменатель дроби на 2 и опять применим формулу двойного угла
$$\frac {sin {80} ^ {0} cos {80} ^ {0}}{4 sin {20} ^ {0}}$$
Повторим эту операцию еще два раза:
$$\frac{sin {160} ^ {0}}{8 sin {20} ^ {0}} = \frac{sin ({180} ^ {0} - {20} ^ {0} )}{8 sin {20} ^ {0}}= \frac{sin {20} ^ {0}}{8 sin {20} ^ {0}} = \frac{1} {8}$$
Отличительным признаком исходного выражения является:
- произведение трех косинусов
- аргументы отличаются ровно в два раза. Результат равен:
$$\frac{1} {8} = \frac{1} {{2} ^ {3}}$$
При соблюдении указанных условий, полученный результат можно обобщить: сколько косинусов с возрастающим в два раза аргументом мы перемножаем в исходном примере, в такую степень и возводим одну вторую.