Алгебра и начала математического анализа. 10 класс
Арифметический корень натуральной степени
Арифметический корень натуральной степени
Арифметический корень натуральной степени
Необходимо запомнить
ВАЖНО!
Объяснение темы «Арифметический корень натуральной степени»:
1. Арифметическим квадратным корнем из числа а называют неотрицательное число, квадрат которого равен а.
Обозначение: $\sqrt{a}$.
2. Кубический корень из а — это такое число, которое при возведении в третью степень дает число а.
Обозначение: $\sqrt[3]{a}$.
3. Арифметическим корнем натуральной степени, где n ≥ 2, из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-я степень которого равна a.
Обозначение: $\sqrt[n]{a}$ , где
n – степень арифметического корня;
а – подкоренное выражение.
Свойства арифметического корня натуральной степени:
Если а ≥ 0, b ≥ 0 и n, m – натуральные числа, причем n ≥ 2, m ≥ 2, то справедливо следующее:
1) $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$:
$\sqrt[4]{16 \cdot 625}=\sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{625} = 2\cdot 5=10$.
2) $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$:
$\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}=\frac{3}{2}=1,5$.
3) $(\sqrt[n]{a})^{m}=\sqrt[n]{a^{m}}$:
$(\sqrt[4]{2})^{8}=\sqrt[4]{2^{8}}=\sqrt[4]{256}=4$.
4) $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[mn]{a}$:
$\sqrt[3]{\sqrt[2]{729}}=\sqrt[6]{729}=\sqrt[3]{3^{6}}=3$.
5) $\sqrt[2k]{a^{2k}}=\mid a \mid$, где k - натуральное число:
$\sqrt[4]{(-5)^{4}}=\mid -5 \mid=5$.
Примеры решения кубических уравнений
А. Решим уравнение х³ = 64.
1. Преобразуем уравнение, перенеся правую часть уравнения в левую часть. Получим: х³ – 64 = 0.
2. Воспользуемся формулой разности кубов и разложим левую часть уравнения на множители. Получим произведение двух выражений: (х – 4)(х² + 4х + 16) = 0.
3. Во втором выражении выделим квадрат суммы (х + 2)² с помощью формулы квадрата суммы. Получим произведение двух выражений: (х – 4)((х + 2)² + 12) = 0.
4. Мы знаем, что произведение двух множителей равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0. Получаем, что либо (х – 4) = 0, либо (х + 2)² + 12 = 0. Решим отдельно каждое уравнение.
Уравнение х – 4 = 0 имеет один действительный корень x = 4. Уравнение (х + 2)² + 12 = 0 не имеет корней.
5. Итак, уравнение х³ = 64 имеет один действительный корень x = 4. Ответ: х = 4.
Следовательно: $\sqrt[3]{64}=4$
Б. Решим уравнение х³ = – 64.
1. Преобразуем уравнение, перенеся правую часть уравнения в левую часть. Получим: х³ + 64 = 0.
2. Воспользуемся формулой суммы кубов и разложим левую часть уравнения на множители. Получим произведение двух выражений: (х + 4)(х² – 4х + 16) = 0.
3. Во втором выражении выделим квадрат разности (х – 2)² с помощью формулы квадрата разности. Получим произведение двух выражений: (х + 4)((х – 2)² + 12) = 0.
4. Мы знаем, что произведение двух множителей равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0. Получаем, что либо (х + 4) = 0, либо (х – 2)² + 12 = 0. Решим отдельно каждое уравнение.
Уравнение х + 4 = 0 имеет один действительный корень x = –4. Уравнение (х – 2)² + 12 = 0 не имеет корней.
5. Итак, уравнение х³ = –64 имеет один действительный корень x = –4. Ответ: х = –4.
Следовательно:$\sqrt[3]{-64}=-4$
Возможна запись:
$\sqrt[3]{-64}= -\sqrt[3]{64}=-4$