Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Урок 16. Арифметический корень натуральной степени

Арифметический корень натуральной степени
Арифметический корень натуральной степени
Арифметический корень натуральной степени
Необходимо запомнить

ВАЖНО!

Объяснение темы «Арифметический корень натуральной степени»:

1. Арифметическим квадратным корнем из числа а называют неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Обозначение: $\sqrt{a}$.

2. Кубический корень из а — это такое число, которое при возведении в третью степень дает число а.

Обозначение: $\sqrt[3]{a}$.

3. Арифметическим корнем натуральной степени, где n ≥ 2, из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-я степень которого равна a.

Обозначение: $\sqrt[n]{a}$ , где

n – степень арифметического корня;

а – подкоренное выражение.

Свойства арифметического корня натуральной степени:

Если а ≥ 0, b ≥ 0 и n, m – натуральные числа, причем n ≥ 2, m ≥ 2, то справедливо следующее:

1) $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$:

$\sqrt[4]{16 \cdot 625}=\sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{625} = 2\cdot 5=10$.

2) $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$:

$\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}=\frac{3}{2}=1,5$.

3) $(\sqrt[n]{a})^{m}=\sqrt[n]{a^{m}}$:

$(\sqrt[4]{2})^{8}=\sqrt[4]{2^{8}}=\sqrt[4]{256}=4$.

4) $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[mn]{a}$:

$\sqrt[3]{\sqrt[2]{729}}=\sqrt[6]{729}=\sqrt[3]{3^{6}}=3$.

5) $\sqrt[2k]{a^{2k}}=\mid a \mid$, где k - натуральное число:

$\sqrt[4]{(-5)^{4}}=\mid -5 \mid=5$.

Примеры решения кубических уравнений

А. Решим уравнение х³ = 64.

1. Преобразуем уравнение, перенеся правую часть уравнения в левую часть. Получим: х³ – 64 = 0.

2. Воспользуемся формулой разности кубов и разложим левую часть уравнения на множители. Получим произведение двух выражений: (х – 4)(х² + 4х + 16) = 0.

3. Во втором выражении выделим квадрат суммы (х + 2)² с помощью формулы квадрата суммы. Получим произведение двух выражений: (х – 4)((х + 2)² + 12) = 0.

4. Мы знаем, что произведение двух множителей равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0. Получаем, что либо (х – 4) = 0, либо (х + 2)² + 12 = 0. Решим отдельно каждое уравнение.

Уравнение х – 4 = 0 имеет один действительный корень x = 4. Уравнение (х + 2)² + 12 = 0 не имеет корней.

5. Итак, уравнение х³ = 64 имеет один действительный корень x = 4. Ответ: х = 4.

Следовательно: $\sqrt[3]{64}=4$

Б. Решим уравнение х³ = – 64.

1. Преобразуем уравнение, перенеся правую часть уравнения в левую часть. Получим: х³ + 64 = 0.

2. Воспользуемся формулой суммы кубов и разложим левую часть уравнения на множители. Получим произведение двух выражений: (х + 4)(х² – 4х + 16) = 0.

3. Во втором выражении выделим квадрат разности (х – 2)² с помощью формулы квадрата разности. Получим произведение двух выражений: (х + 4)((х – 2)² + 12) = 0.

4. Мы знаем, что произведение двух множителей равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0. Получаем, что либо (х + 4) = 0, либо (х – 2)² + 12 = 0. Решим отдельно каждое уравнение.

Уравнение х + 4 = 0 имеет один действительный корень x = –4. Уравнение (х – 2)² + 12 = 0 не имеет корней.

5. Итак, уравнение х³ = –64 имеет один действительный корень x = –4. Ответ: х = –4.

Следовательно:$\sqrt[3]{-64}=-4$

Возможна запись:

$\sqrt[3]{-64}= -\sqrt[3]{64}=-4$

Предметы

По алфавиту По предметным областям

Классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6