ВАЖНО!

Иррациональные уравнения – это уравнения, в которых неизвестное находится под знаком корня.

Свойство: при возведении обеих частей уравнения в натуральную степень получается уравнение – следствие данного.

Рассмотрим виды иррациональных уравнений

$\sqrt{f(x)}=a$

$\sqrt{f(x)}+\sqrt{g(x)}=0$

$\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}$

Определение. Неравенство, содержащие переменную под знаком корня, называется иррациональным.

Иррациональное неравенство, как правило, сводится к равносильной системе (или совокупности систем) неравенств.

$\sqrt{f(x)} > \sqrt{g(x)}\Leftrightarrow \begin{cases}g(x) ≥ 0\\f(x) > g(x)\end{cases}$

$\sqrt{f(x)}\geq\sqrt{g(x)}\Leftrightarrow \begin{cases}g(x) ≥ 0\\f(x)\geq g(x)\end{cases}$

$\sqrt{f(x)} < g(x) \Leftrightarrow \begin{cases}f(x) ≥ 0\\g(x) > 0\\ f(x) < g²(x)\end{cases}$

$\sqrt{f(x)} ≤ g(x) \Leftrightarrow \begin{cases}f(x) ≥ 0\\g(x) ≥ 0\\ f(x) ≤ g²(x)\end{cases}$

$\sqrt{f(x)} > g(x) \Leftrightarrow \begin{cases}\begin{cases}g(x) < 0\\f(x) ≥ 0\end{cases}\\\begin{cases}g(x) ≥ 0\\f(x) > g²(x)\end{cases}\end{cases}$

$\sqrt{f(x)} ≥ g(x) \Leftrightarrow \begin{cases}\begin{cases}g(x) < 0\\f(x) ≥ 0\end{cases}\\\begin{cases}g(x) ≥ 0\\f(x) ≥ g²(x)\end{cases}\end{cases}$

Решим неравенство:

$(x+\frac{4}{x})(\frac{\sqrt{x^{2}-8x+16}-1}{\sqrt{6-x}-1})^{2} ≥ 5(\frac{\sqrt{x^{2}-8x+16}-1}{\sqrt{6-x}-1})^{2}$

Решение:

Решение неравенства ищем при условиях:

$\begin{cases}x ≠ 0\\6-x ≥ 0\\ 6-x ≠ 1\end{cases}$

$\begin{cases}x ≠ 0\\x ≤ 6\\ x ≠ 5\end{cases}$

Рассмотрим два случая:

1) $\sqrt{x^2-8x+16} = 1$, т.е. |x-4| = 1 и, значит, x = 3 или х = 5.

Из этих корней нам подходит корень х = 3.

2) $\sqrt{x^2-8x+16}\neq1$ Разделим обе части неравенства на $(\frac{\sqrt{x^2-8x+16}-1}{\sqrt{6-x}-1})^{2}$,

получим $x+\frac{4}{x}\geq5$, откуда $\frac{(х-1)(х-4)}{x} ≥ 0$

$\begin{cases}0 < х ≤ 1\\х ≥ 4\end{cases}$

С учетом ограничений получаем, что множество решений исходного неравенства: $(0;1]∪{3}∪[4;5)∪(5;6].$

Ответ: $(0;1]∪{3}∪[4;5)∪(5;6].$