Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Урок 22. Показательные уравнения. Системы показательных уравнений

Показательные уравнения. Системы показательных уравнений
Показательные уравнения. Системы показательных уравнений
Необходимо запомнить

ВАЖНО!

На этом уроке мы рассмотрим показательные уравнения и их системы.

К простейшим показательным уравнениям относятся:

$a^{f(x)}=b, a^{f(x)}=a^{g(x)}, (a\gt 0, a\neq 1)$.

Теорема:

Уравнение $f(g(x))=a$ равносильно на ОДЗ совокупности уравнений 

$\left[\begin{array}{c}g(x)=t_{1}\\g(x)=t_{2}\\g(x)=t_{3}\end{array}\right.$, где $t_{i}$ - корень уравнения $f(t)=a$.

Этим методом решаются показательные уравнения, которые после замены переменной сводятся к квадратным, дробно-рациональным, алгебраическим степени выше второй.

Однородным показательным уравнением называется уравнение вида:


$a_{1}f^{n}+a_{2}f^{n−1}g+a_{3}f^{n−2}g^{2}+...+a_{n+1}g^{n}=0$


Здесь $f$ и $g$ функции вида:


$f(x)=b^{t(x)}, g(x)=c^{t(x)}$, $a_{i}$ - коэффициенты.


Однородные показательные уравнения решаются делением на $g^{n}$ или на $f^{n}$ и последующей заменой:


$t=\frac{f}{g}$.

Показательные уравнения. Системы показательных уравнений

Показательно-степенное уравнение – это уравнение вида $a(x)^{f(x)}=a(x)^{g(x)},$ то есть такое уравнение, в котором переменная x стоит и в основании степени, и в показателе, $a(x)\neq0.$

Решением такого уравнения является совокупность:

$\begin{cases}a(x) = 1\\f(x) =g(x)\end{cases}.$

Приведем пример:

$(1-x)^{x^{2}-x}=(1-4)^{4x-4}$

$\begin{cases}1-x=1\\x^{2}-x =4x-4\end{cases};$

$\begin{cases}x=0\\x^{2}-5x +4=0\end{cases};$

$\begin{cases}x=0\\x=4\end{cases}.$

Здесь корень х = 1 квадратного уравнения не удовлетворяет условию $a(x)\neq0.$

Так как корнем уравнения называется такое число, которое обращает его в верное числовое равенство, то дополнительно рассматривают случай $a(x)=-1.$

В данном уравнении это значение соответствует x = 2.

Проверим. При х = 2 

$x^{2}-x=2; 4x-4=4.$

То есть показатели степеней являются четными числами, а это означает, что уравнение обращается в верное числовое равенство:

$(-1)^{2}=(-1)^{4}.$

Ответ: 0; 2; 4.

Предметы

По алфавиту По предметным областям

Классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6