ВАЖНО!

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Запишем формулу: $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cos\alpha$

Косинус угла между векторами пространства

$\overline{\nu}(\nu_{1};\nu_{2};\nu_{3}), \overline{\omega}(\omega_{1};\omega_{2};\omega_{3}),$ заданными в ортонормированном базисе

$(\overline{i},\overline{j},\overline{k}),$ выражается формулой: $\cos\angle(\overline{\nu};\overline{\omega}) = \frac{\nu_{1}\cdot\omega_{1} + \nu_{2}\cdot\omega_{2} + \nu_{3}\cdot\omega_{3}}{\sqrt{\nu_1^2 + \nu_2^2 + \nu_3^2}\cdot\sqrt{\omega_1^2 + \omega_2^2 + \omega_3^2}}.$

Для любых векторов $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{с}$ и любого числа k справедливы равенства:

1) $\overrightarrow{a^{2}} \geq 0,$ причем $\overrightarrow{a^{2}} > 0$ при $\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0}.$

2) $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} = \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}$ (переместительный закон).

3) $(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c} + \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}$ (распределительный закон).

4) $k(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}) = (k\overrightarrow{a})\cdot\overrightarrow{b}$ (сочетательный закон).

Формула нахождения угла между двумя прямыми:

$\cos\phi = \frac{|x_{1}\cdot x_{2} + y_{1}\cdot y_{2} + z_{1}\cdot z_{2}|}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}\cdot\sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}.$

Формула нахождения угла между прямой и плоскостью:

$\sin\phi = \frac{|x_{1}\cdot x_{2} + y_{1}\cdot y_{2} + z_{1}\cdot z_{2}|}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}\cdot\sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}.$

Докажем основные свойства скалярного произведения.

Докажем первое свойство

$\overrightarrow{a^2}\geq0$, причем $\overrightarrow{a^2}\gt 0$ при $\overrightarrow{a}\ne\overrightarrow{0}$

Доказательство:эти свойства очень легко обосновать, если отталкиваться от определения скалярного произведения в координатной форме и от свойств операций сложения и умножения действительных чисел.

Докажем второе свойство

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a}$ (переместительный закон).

Доказательство: По определению скалярного

произведения векторов $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{|a|}\cdot \overrightarrow{|b|}\cdot cos(\overrightarrow{a}^\curlywedge\overrightarrow{b})$

Очевидно, что $cos(\overrightarrow{a}^\curlywedge\overrightarrow{b})=cos(\overrightarrow{b}^\curlywedge\overrightarrow{a})$ . Если же, кроме

того, воспользуемся свойством переместительности

произведения чисел, то получим $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a}$ .

Докажем третье свойство

$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{с}=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$ (распределительный

закон).

Доказательство: Введем прямоугольную систему координат и рассмотрим произвольные векторы $\overrightarrow{a}(x_1,y_1,z_1),\overrightarrow{b}(x_2,y_2,z_2) ,\overrightarrow{с}(x_3,y_3,z_3) $ Воспользуемся формулой скалярного произведения в координатах и тем, что координаты вектора $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ равны суммам соответствующих координат векторов

$\overrightarrow{a} u \overrightarrow{b}:(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{с}=(x_1+x_2)\cdot x_3+(y_1+y_2)\cdot y_3+(z_1+z_2)\cdot z_3=$

$=(x_1x_3+y_1y_3+z_1z_3)+(x_2x_3+y_2y_3)+z_2z_3)=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}$

Докажем четвертое свойство

$k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=(k\cdot \overrightarrow{a})\cdot \overrightarrow{b}$ (сочетательный закон). Доказательство: Введем прямоугольную систему

координат и рассмотрим произвольные

векторы $\overrightarrow{a}(x_1,y_1,z_1)\overrightarrow{b}(x_2,y_2,z_2)$ воспользуемся

формулой скалярного произведения в координатах

Тогда вектор $(k\cdot \overrightarrow{a})\cdot \overrightarrow{b}=(kx_1,ky_1,kz_1)(x_2,y_2,z_2)=kx_1x_2+ky_1y_2=k(x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2)=k(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})$