Геометрия. 11 класс

Урок 2. Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение векторов
Скалярное произведение векторов
Необходимо запомнить

ВАЖНО!

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Запишем формулу: $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cos\alpha$

Косинус угла между векторами пространства

$\overline{\nu}(\nu_{1};\nu_{2};\nu_{3}), \overline{\omega}(\omega_{1};\omega_{2};\omega_{3}),$ заданными в ортонормированном базисе

$(\overline{i},\overline{j},\overline{k}),$ выражается формулой: $\cos\angle(\overline{\nu};\overline{\omega}) = \frac{\nu_{1}\cdot\omega_{1} + \nu_{2}\cdot\omega_{2} + \nu_{3}\cdot\omega_{3}}{\sqrt{\nu_1^2 + \nu_2^2 + \nu_3^2}\cdot\sqrt{\omega_1^2 + \omega_2^2 + \omega_3^2}}.$

Для любых векторов $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{с}$ и любого числа k справедливы равенства:

1) $\overrightarrow{a^{2}} \geq 0,$ причем $\overrightarrow{a^{2}} > 0$ при $\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0}.$

2) $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} = \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}$ (переместительный закон).

3) $(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c} + \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}$ (распределительный закон).

4) $k(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}) = (k\overrightarrow{a})\cdot\overrightarrow{b}$ (сочетательный закон).

Формула нахождения угла между двумя прямыми:

$\cos\phi = \frac{|x_{1}\cdot x_{2} + y_{1}\cdot y_{2} + z_{1}\cdot z_{2}|}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}\cdot\sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}.$

Формула нахождения угла между прямой и плоскостью:

$\sin\phi = \frac{|x_{1}\cdot x_{2} + y_{1}\cdot y_{2} + z_{1}\cdot z_{2}|}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}\cdot\sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}.$

Скалярное произведение векторов

Докажем основные свойства скалярного произведения.

Докажем первое свойство

$\overrightarrow{a^2}\geq0$, причем $\overrightarrow{a^2}\gt 0$ при $\overrightarrow{a}\ne\overrightarrow{0}$

Доказательство:эти свойства очень легко обосновать, если отталкиваться от определения скалярного произведения в координатной форме и от свойств операций сложения и умножения действительных чисел.

Докажем второе свойство

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a}$ (переместительный закон).

Доказательство: По определению скалярного

произведения векторов $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{|a|}\cdot \overrightarrow{|b|}\cdot cos(\overrightarrow{a}^\curlywedge\overrightarrow{b})$

Очевидно, что $cos(\overrightarrow{a}^\curlywedge\overrightarrow{b})=cos(\overrightarrow{b}^\curlywedge\overrightarrow{a})$ . Если же, кроме

того, воспользуемся свойством переместительности

произведения чисел, то получим $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a}$ .

Докажем третье свойство

$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{с}=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$ (распределительный

закон).

Доказательство: Введем прямоугольную систему координат и рассмотрим произвольные векторы $\overrightarrow{a}(x_1,y_1,z_1),\overrightarrow{b}(x_2,y_2,z_2) ,\overrightarrow{с}(x_3,y_3,z_3) $ Воспользуемся формулой скалярного произведения в координатах и тем, что координаты вектора $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ равны суммам соответствующих координат векторов

$\overrightarrow{a} u \overrightarrow{b}:(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{с}=(x_1+x_2)\cdot x_3+(y_1+y_2)\cdot y_3+(z_1+z_2)\cdot z_3=$

$=(x_1x_3+y_1y_3+z_1z_3)+(x_2x_3+y_2y_3)+z_2z_3)=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}$

Докажем четвертое свойство

$k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=(k\cdot \overrightarrow{a})\cdot \overrightarrow{b}$ (сочетательный закон). Доказательство: Введем прямоугольную систему

координат и рассмотрим произвольные

векторы $\overrightarrow{a}(x_1,y_1,z_1)\overrightarrow{b}(x_2,y_2,z_2)$ воспользуемся

формулой скалярного произведения в координатах

Тогда вектор $(k\cdot \overrightarrow{a})\cdot \overrightarrow{b}=(kx_1,ky_1,kz_1)(x_2,y_2,z_2)=kx_1x_2+ky_1y_2=k(x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2)=k(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})$

Предметы

По алфавиту По предметным областям

Классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6