Геометрия. 11 класс

Урок 16. Многогранники. Методы решения

Многогранники. Методы решения
Многогранники. Методы решения
Необходимо запомнить

ВАЖНО!

Многогранники. Объемы многогранников. Метод объемов.

Методом объёмов называется приравнивание двух подходящих выражений для объёма, в результате чего удаётся вычислить искомую величину (расстояние или угол).

Чтобы воспользоваться методом объемов, нужно найти подходящую треугольную пирамиду и провести вычисления.

Метод объёмов можно использовать, вычисляя:

  • Расстояние от точки М до плоскости α

ρ(M;α) = ρ(M; ABC) =$\frac{3V_{ABCM}}{S_{ABC}}$

$V_{ABCM}$ -объем пирамиды АВСМ,

ρ(M;α) - расстояние от точки M до плоскости $\alpha$,

$S_{АВС}$- площадь треугольника АВС

  • Угол между плоскостями

$ V = \frac{2}{3}\cdot \frac{S1\cdot S2}{a}\cdot sin ϕ $

Здесь S1 и S2 — площади двух граней пирамиды, a— общее ребро этих граней, ϕ — угол между плоскостями этих граней.

  • Расстояние между скрещивающимися прямыми

$V = \frac{1}{6}a\cdot b\cdot d\cdot sin ϕ$

Здесь a и b — скрещивающиеся рёбра тетраэдра, d и ϕ — соответственно расстояние и угол между ними (точнее, между прямыми, содержащими эти рёбра).

Многогранники. Методы решения

Решим задачу:

Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус вписанной в основание окружности равен $\sqrt3$, а боковые ребра пирамиды равны 6.

Решение.

$V=\frac{1}{3}S*H$

1) радиус вписанной в правильный треугольник окружности в 2 раза меньше радиуса описанной около этого треугольника окружности, т.е. $R=2r$ , тогда $R=2\sqrt3$ .

2) найдем сторону основания правильной пирамиды по формуле известной формуле

$a=R\sqrt3$ , где a сторона правильного треугольника, а R - радиус, описанной около треугольника окружности.

$a=2\sqrt3*\sqrt3=6$

3) найдем площадь основания, как площадь правильного треугольника $S=\frac{a^2*\sqrt3}{4}$ , $S=\frac{36\sqrt{3}}{4}$

4) из прямоугольного треугольника АОМ по теореме Пифагора находим высоту пирамиды:$H=\sqrt{AM^2-AO^2}$ , $H=\sqrt{6^2-(2\sqrt3)^2}$=$\sqrt{36-12}$=$\sqrt24$=$2\sqrt6$.

5) вычислим объём пирамиды $V=\frac{1}{3}*S*H$ , $V=\frac{1}{3}*\frac{36\sqrt3}{4}*2\sqrt6$=$18\sqrt2$

 

Ответ. $18\sqrt2$ .

Предметы

По алфавиту По предметным областям

Классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6