Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Урок 24. Логарифмы. Свойства логарифмов

Логарифмы. Свойства логарифмов
Логарифмы. Свойства логарифмов
Необходимо запомнить

ВАЖНО!

Логарифмы. Свойства логарифмов

При решении простейших показательных уравнений не всегда можно найти точный ответ. Например, уравнение $2^{x}$ = 32 имеет корень 5, т. к. 32 = $2^{5}$, значит $2^{x} = 2^{5}$.

В уравнении $2^{x}$ = 5 число 5 не является степенью 2, значит предыдущий способ решения не подходит. Нам известно, что уравнение имеет единственный корень, это число и называют логарифмом 5 по основанию 2.

Дадим определение логарифма.

Логарифмом положительного числа b по основанию a, $a \gt 0, a\neq1$ называется показатель степени, в которую надо возвести a чтобы получить b.

$log_a b=c \Leftrightarrow $

$b \gt 0, a \gt 0,a\neq1, a^{c} = b$

Т. е. логарифм числа b по основанию a, $b \gt 0, a \gt 0,a\neq1$ есть некоторое число c такое, что $a^{c} = b$

Пример 1.

$\log_{g}{216}=3,$ т. к. выполнены все условия определения:

1) 216 $\gt$ 0; 2) 6 $\gt$ 0, 6 $\neq$ 1; 3) $6^{3}$ = 216

Пример 2.

$\log_{2}{\frac{1}{8}}=-3,$ , т. к. выполнены все условия определения:

$1) \frac{1}{8} \gt 0; 2) 2 \gt 0, $2 $\neq$ 1$; 3) 2^{-3} = \frac{1}{8} .$

Это действие называется логарифмированием.

Логарифмирование – это действие нахождения логарифма числа.

Существует краткая запись определения логарифма:

$a^{\log_{a}{b}} = b$, где b $\gt$ 0,a $\gt$ 0, a $\neq$ 1

так называемое основное логарифмическое тождество. Его используют при вычислениях.

Пример 3.

$4^{\log_{4}{5}}=5$

(Читают: 4 в степени логарифм 5 по основанию 4 равен 5)

Пример 4.

$\ (\frac{1}{3}) ^{\log_{\frac{1}{3}}{6}}=6$

(Читают: одна треть в степени логарифм 6 по основанию одна треть равен 6) Для более сложных вычислений нам понадобятся свойства логарифмов.

1. Логарифм произведения.

$\log_{a}{bc}=\log_{a}{b}+\log_{a}{c}$

Логарифм произведения чисел b и c по основанию a равен сумме логарифма b по основанию a и логарифма c по основанию a.

Пример 5.

$\log_{8}{2}+\log_{8}{32}=\log_{8}{(2\cdot32)}=\log_{8}{64}=2$

2. Логарифм частного.

$\log_{a}{(\frac{b}{c})}=\log_{a}{b}-\log_{a}{c}$

Логарифм частного чисел b и c по основанию a равен разности логарифма b по основанию a и логарифма c по основанию a.

Пример 6.

$\log_{13}{26}-\log_{13}{2}=\log_{13}{(\frac{26}{2})}=\log_{13}{13}=1$

3. Логарифм степени.

$\log_{a}{b^{r}}=r\cdot \log_{a}{b}$

Логарифм числа b в степени r по основанию a равен произведению показателя r и логарифма b по основанию a.

Пример 7.

$\log_{a}{5^{\frac{1}{3}}}=\frac{1}{3}\log_{5}{5}=\frac{1}{3}$

Важно! Свойства выполняются при $b \gt 0, c \gt 0, a \gt 0, a\neq1.$

Логарифмы. Свойства логарифмов

Кроме основных свойств логарифма, встречаются еще несколько формул.

$1) \log_{a}{a}=1, a \gt 0, a\neq1, т.к. a^{1}=a$

$2) \log_{a}{1}=0, a \gt 0, a\neq1, т.к. a^{0}=1$

$3) \log_{a}{b^{\frac{1}{k}}}=\frac{1}{k}\log_{a}{b}, a > 0, a\neq1, b \gt 0, k\neq0.$

Докажем последнее утверждение.

По определению логарифма $b=a^{\log_{a}{b}}.$

Значит $a^{\log_{a}{b^{\frac{1}{k}}}}=b^{\frac{1}{k}}=(a^{\log_{a}{b}})^{\frac{1}{k}}=a^{\frac{1}{k}\lg{ab}}.$

Тогда $\log_{a}{b^{\frac{1}{k}}}=\frac{1}{k}\log_{a}{b}.$

Доказано.

$4) \log_{a^{k}}{b}=\frac{1}{k}\log_{a}{b}, a \gt 0, a\neq1, b \gt 0, k\neq0.$

Задача 1.

Вычислить $\log_{36}{2}-\log_{\frac{1}{6}}{3^{\frac{1}{2}}}.$

Решение: $\log_{36}{2}-\log_{\frac{1}{6}}{3^{\frac{1}{2}}}=\log_{36}{2}-\frac{1}{2}\log_{\frac{1}{6}}{3}=$

(выполним преобразования в основаниях логарифмов, чтобы применить свойство)

$=\frac{1}{2}\log_{6}{2}-\frac{1}{2}(-1)\log_{6}{3}=\frac{1}{2}\log_{6}{2}+\frac{1}{2}\log_{6}{3}=$

Вынесем за скобки общий множитель 1/2.

$=\frac{1}{2}(\log_{6}{2}+\log_{6}{3})=$

В скобках применим свойство суммы логарифмов.

$=\frac{1}{2}\log_{6}{(2\cdot3)}=\frac{1}{2}\log_{6}{6}=\frac{1}{2}\cdot1=0,5$

Ответ: 0,5

Предметы

По алфавиту По предметным областям

Классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6