Геометрия. 11 класс

Урок 17. Многогранники. Методы решения. Векторный и координатный

Многогранники. Методы решения. Векторный и координатный
Многогранники. Методы решения. Векторный и координатный
Необходимо запомнить

ВАЖНО!

Векторный и координатный метод решения заключается во введении (привязке к исследуемым фигурам) декартовой системы координат, а затем – исчислении образующихся векторов (их длин и углов между ними).

При решении задач данными способами используются следующие формулы. 

  • Признак коллинеарности двух векторов:

$a^r||b^u$

  • признак перпендикулярности двух векторов:
  • длина векторов p(x;y;z) находится по формуле
  • угол $\alpha$ между векторами $a^r u b^r$ находится с помощью формулы:

Скалярное произведение векторов:

Если заданы точки $A(x_1;y_1;z_1) и B(x_2;y_2;z_2)$ то находятся:

  • Расстояние между точками А и В:

AB=$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$ ;

  • Длина вектора

Расстояние d от точки М0 до плоскости Ax+By+Cz+D=0 находится по формуле

$d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Многогранники. Методы решения. Векторный и координатный

Рассмотрим задачу:

Каждое ребро призмы АВСА1В1С1 равно 2. Точки M и N – середины рёбер АВ и А1С1. Найти расстояние от точки М до прямой СN, если известно, что угол А1АС =60° и прямые А1А и АВ перпендикулярны. 

Решение: Рассмотрим базис, состоящий из векторов АА1 = а, АВ = b и АС = с, и составим таблицу умножения для векторов этого базиса.


a'

b'

c'

a'

4

0

2

b'

0

4

2

c'

2

2

4

Расстояние от точки М до прямой СN равно расстоянию от точки М до её проекции на прямую CN. Пусть Р – проекция точки М на прямую СN. Тогда

$\vec {MP} =\vec{CP}-\vec{CM}=x \vec{CN}-\vec{CM}$ для некоторого числа $x$.

Если $\vec {CN}=\vec{a}-\frac {1}{2}\vec {c}$ и $\vec {CM}=\frac {1}{2}\vec {b}-\vec{c}$

$\vec{MP}=x (\vec {a}-\frac{1}{2}\vec{c})-(\frac{1}{2}\vec {b}-\vec{c})=x\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}+(1-\frac{x}{2})\vec{c}$


$\vec{MP}=x (\vec {a}-\frac{1}{2}\vec{c})-(\frac{1}{2}\vec {b}-\vec{c})=x\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}+(1-\frac{x}{2})\vec{c}$

Поскольку прямые МР и СN перпендикулярны, то

$\vec{MP}\cdot \vec{CN}=0$, то есть $x\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}+(1-\frac{x}{2})\vec{c}\cdot (\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{c})=0$

Раскрывая скобки и пользуясь таблицей умножения для нашего базиса, получаем $3х +\frac{1}{2}=0$, откуда $х = –\frac{1}{6}$

Значит, $\vec{МР}= –(\frac{1}{6})\vecа-\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{13}{12}\vec c$

Искомое расстояние МР равно:

$│\vec{МР}│=\sqrt((\frac{1}{6})\vec а-\frac{1}{2}\vec b+\frac{13}{12}\vec c)^2$

Снова раскрывая скобки и пользуясь таблицей умножения, находим МР = $\frac {\sqrt{105}}{6}$. 

Таким образом, расстояние от точки М до прямой СN равно $\frac {\sqrt{105}}{6}$.

Предметы

По алфавиту По предметным областям

Классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6