Геометрия. 10 класс

Урок 4. Параллельность прямых, прямой и плоскости

Параллельные прямые в пространстве

Подчеркните пары параллельных прямых.

Воспользуйтесь определением параллельных прямых.

1. КМ и АС

2. АС и ЕF

3. KM и EF

4. AE и CF

5. AE и EF

6. КМ и CF

Учёные, изучающие вопрос параллельных прямых

На ленте времени распределите учёных, которые в разное время работали в области параллельных прямых.

Воспользоваться исторической справкой.
Параллельность прямых

Заполните пропуски в решении задач, вставив номер, соответствующий верному ответу, напротив каждой строки.

Квадрат АВСВ и трапеция KMNL не лежат в одной плоскости. Точки А и D – середины отрезков КМ и NL соответственно. Докажите, что KL || BC.

Варианты ответов:


  1. AB
  2. ВС
  3. AD
  4. DC
  5. KL
  6. MN
  7. AD||MN
  8. AD||NL
  9. AD||KL
Мы знаем, что средняя линия трапеции параллельна её основаниям.
Средняя линия треугольника

Дано: в ∆ АВС, КМ − средняя линия, КМ = 5; ACFE – параллелограмм.

Найти: EF.

Т.к. ACFE − параллелограмм, то АС = EF.

Взаимное расположение прямых в пространстве

Выберите верные высказывания.

Воспользоваться определениями скрещивающихся прямых, параллельных прямых, параллельных прямой и плоскости, свойства.
Расположение прямых

Опираясь на рисунок, укажите пары параллельных и скрещивающихся отрезков.

Параллельные отрезки

Скрещивающиеся отрезки

AD и BC
AB и CD
SA и BC
SA и CD
SD и BC
AS иBC
AD иDC
Расположение прямой и плоскости

Даны плоскость α и параллельная ей а. Сколько существует плоскостей, проходящих через прямую а и параллельных плоскости α?

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

1. ни одной;

2. одна или ни одной;

3. бесконечно много;

4. одна;

5. бесконечно много или одна.

Зеленый
Параллельность прямой и плоскости

На рисунке m || α, P ∈ α. Докажите, что в плоскости α существует прямая, проходящая через точку Р и параллельная прямой m.

Поставьте напротив пробела порядковый номер ответа:

  1. прямую
  2. плоскость
  3. аксиоме 1
  4. аксиоме 2
  5. аксиоме 3
  6. пересекаются
  7. ||
  8. единственные
  9. общие

Доказательство:

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.
Параллельность прямой и плоскостей

Докажите, что если данная прямая m параллельна прямой, по которой пересекаются две плоскости, и не лежит в этих плоскостях, то она параллельна этим плоскостям.

Доказательство:

Пусть нам даны плоскости α и β, которые пересекаются по прямой l, прямая m параллельна прямой l и не лежит в плоскостях α и β. Докажем, что m параллельна и плоскости α, и плоскости β.

Впишите напротив каждого из тезисов доказательства соответствующий номер прямой:

l - 1

m - 2

Воспользуйтесь признаком параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой на этой плоскости, то эта прямая параллельна данной плоскости.
Параллельность прямой и плоскости

Точка М не лежит в плоскости ромба ABCD. На отрезке ВМ выбрана точка F так, что MF:FB = 1:3, точка К - точка пересечения прямой МС с плоскостью AFD. Найдите FK, если AD = 16 cм.

Поставьте напротив тезиса порядковый номер ответа

  1. AD
  2. BC
  3. MFK
  4. MBC
  5. ABC
  6. MB
  7. 4
  8. 16
Обратите внимание, что из параллельности прямых вытекает подобие треугольников, соответственно, можно найти коэффициент подобия, составив соотношение сторон.
Параллельность прямой и плоскости

Через две параллельные прямые а и b проходят плоскости α и β соответственно. Доказать, что линия l их пересечения параллельна прямым а и b.

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

По условию прямая  прямой b, расположенной в плоскости β. По параллельности прямой и плоскости, прямая а параллельна плоскости β.

Плоскость α проходит через прямую  , параллельную плоскости β, и пересекает плоскость β по прямой  . Согласно утверждению , прямая   параллельна прямой а.

Аналогично, прямая b параллельна прямой а, расположенной в плоскости α. По параллельности прямой и плоскости, прямая b параллельна плоскости α.

Плоскость β проходит через прямую b, параллельную плоскости α, и пересекает плоскость α по прямой  . Согласно утверждению , прямая l параллельна прямой  .

Параллельность прямой и плоскостей

Дано: ∆ АВС ∈ α; ∆ ABD ∈ β; a || CD.

Доказать: прямая а пересекает плоскости α и β (поставьте порядковый номер ответа напротив тезиса доказательства).

  1. АВ
  2. АС
  3. CD
  4. АВС
  5. А
  6. B
  7. С
  8. D
  9. только одна
  10. любая
Параллельность прямой и плоскостей.
Параллельность прямой и плоскости

Точка М не лежит в плоскости ромба ABCD. На отрезке АМ выбрана точка Е так, что MЕ:ЕА = 1:3. Точка F – точка пересечения прямой МВ с плоскостью CDE. Найдите АВ, если EF = 16 cм.

Примените лемму: если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

AB = 5 см

AB = 4 см

AB = 6 см

AB = 8 см

Свойство параллельных прямых

Дано: ABCD - параллелограмм, АВ и ВС - пересекают плоскость α.

Доказать: прямые AD и DC пересекают плоскость α.

1. Параллельных

2. CD

3. AC

4. Параллельны

5. BD

Воспользуйтесь свойством противоположных сторон параллелограмма и леммой: если одна из двух паралельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Предметы

По алфавиту По предметным областям

Классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6 angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6