Геометрия. 11 класс

Урок 3. Координатный метод решения задач

Координатный метод решения задач
Координатный метод решения задач
Координатный метод решения задач
Координатный метод решения задач
Необходимо запомнить

ВАЖНО!

На этом уроке мы познакомились с новым методом решения задач в пространстве – координатным методом. Для применения этого метода важно знать некоторые формулы:

1) Угол между прямыми: $\cos (\overrightarrow{\mathrm AB} \hat{;} \overrightarrow{\mathrm CD})=\frac{\overrightarrow{\mathrm AB}\cdot \overrightarrow{\mathrm CD}}{\left|\overline{\mathrm AB}\right|\cdot \left|\overline{\mathrm CD}\right|}=\frac{x_{1}\cdot x_{2}\cdot + y_{1}\cdot y_{2}\cdot + z_{1}\cdot z_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + z_{1}^{2}}\cdot \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2} + z_{2}^{2}}}$

2) Угол между прямой и плоскостью: $\sin \varphi=\frac{\left|As+Bm+Cn\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}\cdot \sqrt{s^{2}+m^{2}+n^{2}}}$


3) Угол между плоскостями: $\cos \varphi=\frac{\left|A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}\right|}{\sqrt{(A_{1})^{2}+(B_{1})^{2}+(C_{1})^{2}}\cdot \sqrt{(A_{2})^{2}+(B_{2})^{2}+(C_{2})^{2}}}$


4) Расстояние от точки до плоскости: $d=\frac{\left|Ax_{0}+Dy{0}+Cz_{0}+d\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$

Координатный метод решения задач

Иногда для нахождения уравнения плоскости система оказывается несложной. Но иногда бывает трудно ее решить, и тогда можно использовать следующую формулу: $\begin{vmatrix}x-x_0&x_1-x_0&x_2-x_0\\y-y_0&y_1-y_0&y_2-y_0\\z-z_0&z_1-z_0&z_2-z_0\end{vmatrix}=0$.

Обозначение $|M|$ означает определитель матрицы $М$. В нашем случае матрица представляет собой таблицу 3×3 элемента. И определитель $|M|$ вычисляется следующим образом: $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{12}a_{13}+a_{21}a_{22}a_{23}+a_{31}a_{32}a_{33}-a_{31}a_{32}a_{33}-a_{21}a_{22}a_{23}-a_{11}a_{12}a_{13}$.

Таким образом, уравнение плоскости будет записано так:

$\begin{vmatrix}x-x_0&x_1-x_0&x_2-x_0\\y-y_0&y_1-y_0&y_2-y_0\\z-z_0&z_1-z_0&z_2-z_0\end{vmatrix}=0$;

$(x-x_0)(y_1-y_0)(z_2-z_0)+(z_2-z_0)(x_1-x_0)(y_2-y_0)+(y-y_0)(z_1-z_0)(x_2-x_0)-$

$-(z-z_0)(y_1-y_0)(x_2-x_0)-(x-x_0)(z_1-z_0)(y_2-y_0)-(x_1-x_0)(y-y_0)(z_2-z_0)=0$

Предметы

По алфавиту По предметным областям

Классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6