ВАЖНО!

На этом уроке мы познакомились с новым методом решения задач в пространстве – координатным методом. Для применения этого метода важно знать некоторые формулы:

1) Угол между прямыми: $\cos (\overrightarrow{\mathrm AB} \hat{;} \overrightarrow{\mathrm CD})=\frac{\overrightarrow{\mathrm AB}\cdot \overrightarrow{\mathrm CD}}{\left|\overline{\mathrm AB}\right|\cdot \left|\overline{\mathrm CD}\right|}=\frac{x_{1}\cdot x_{2}\cdot + y_{1}\cdot y_{2}\cdot + z_{1}\cdot z_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + z_{1}^{2}}\cdot \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2} + z_{2}^{2}}}$

2) Угол между прямой и плоскостью: $\sin \varphi=\frac{\left|As+Bm+Cn\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}\cdot \sqrt{s^{2}+m^{2}+n^{2}}}$

3) Угол между плоскостями: $\cos \varphi=\frac{\left|A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}\right|}{\sqrt{(A_{1})^{2}+(B_{1})^{2}+(C_{1})^{2}}\cdot \sqrt{(A_{2})^{2}+(B_{2})^{2}+(C_{2})^{2}}}$

4) Расстояние от точки до плоскости: $d=\frac{\left|Ax_{0}+Dy{0}+Cz_{0}+d\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$

Иногда для нахождения уравнения плоскости система оказывается несложной. Но иногда бывает трудно ее решить, и тогда можно использовать следующую формулу: $\begin{vmatrix}x-x_0&x_1-x_0&x_2-x_0\\y-y_0&y_1-y_0&y_2-y_0\\z-z_0&z_1-z_0&z_2-z_0\end{vmatrix}=0$.

Обозначение $|M|$ означает определитель матрицы $М$. В нашем случае матрица представляет собой таблицу 3×3 элемента. И определитель $|M|$ вычисляется следующим образом: $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{12}a_{13}+a_{21}a_{22}a_{23}+a_{31}a_{32}a_{33}-a_{31}a_{32}a_{33}-a_{21}a_{22}a_{23}-a_{11}a_{12}a_{13}$.

Таким образом, уравнение плоскости будет записано так:

$\begin{vmatrix}x-x_0&x_1-x_0&x_2-x_0\\y-y_0&y_1-y_0&y_2-y_0\\z-z_0&z_1-z_0&z_2-z_0\end{vmatrix}=0$;

$(x-x_0)(y_1-y_0)(z_2-z_0)+(z_2-z_0)(x_1-x_0)(y_2-y_0)+(y-y_0)(z_1-z_0)(x_2-x_0)-$

$-(z-z_0)(y_1-y_0)(x_2-x_0)-(x-x_0)(z_1-z_0)(y_2-y_0)-(x_1-x_0)(y-y_0)(z_2-z_0)=0$