Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Урок 1. Область определения и множество значений тригонометрических функций

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №1. Область определения и множество значений тригонометрических функций.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

  • Овладение понятиями "область определения", "область определения тригонометрических функций", "множество значений функции", "множество значений тригонометрических функций";
  • Нахождение области определения и множества значений тригонометрических функций вида y=af(kx+b)+c и y=|f(k|x|+b)|, где f(x) - косинус, синус, тангенс или котангенс действительного числа от значения коэффициентов a, k, b.;
  • Объяснение зависимости области определения и множества значений функции вида y=af(kx+b)+c и y=|f(k|x|+b)|, где f(x) - косинус, синус, тангенс или котангенс действительного числа от значения коэффициентов a, k, b.

Глоссарий по теме

Областью определения функций y = sin x и y = cos x является множество R всех действительных чисел.

Множеством значений функции y = sin x и y = cos x  является отрезок -1 ≤ y ≤ 1. Данные функции ограничены сверху и снизу.

Областью определения функции y = tg x  является множество чисел x ≠ π/2 + πk, kЄ Z.

Областью определения функции y = сtg x  является множество чисел x ≠ πk, kЄ Z.

Множеством значений функции y = tg x и y =сtg x  является множество R всех действительных чисел, т.к. уравнения tg x = a  и сtg x = a  имеют корни при любом действительном значении a. Функции неограниченные.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2010.–336 с.

Дополнительная литература:

Шахмейстер, А.Х. Тригонометрия / А.Х. Шахмейстер.— СПб.: Петроглиф, 2014. — 750 с.

Открытые электронные ресурсы:

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ [Электронный ресурс].– Режим доступа: http://ege.fipi.ru/

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам [Электронный ресурс].– Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Актуализация знаний

Вопросы:

  1. Что такое функция?
  2. Что такое область определения функции? Чем является область определения функции геометрически?
  3. Что такое множество значений функции? Чем является множество значений функции геометрически?

Ответы на вопросы:

  1. Если каждому значению x из некоторого множества чисел поставлено в соответствие по определенному правилу число y, то говорят, что на этом множестве задана функция. При этом х называют независимой переменной или аргументом, а у – зависимой переменной или функцией. Зависимость переменной у от переменной х называют функциональной зависимостью. Записывают y=f(x).
  2. Областью определения функции называют множество всех допустимых значений переменной x. Геометрически – это проекция графика функции на ось Ох.

Множество значений функции — множество всех значений, которые функция принимает на области определения. Геометрически – это проекция графика функции на ось Оy.

Найдите область определения функции и множество значений функции:

1) ; 2) ; 3) .

Ответы:

D(f): 1) ; 2) ; 3)

E(f): 1); 2) ; 3) .

Объяснение нового материала

С помощью единичной окружности сделайте выводы об области определения и множестве значений тригонометрических функций.

Заполните таблицу:

Функция

Область определения

Множество значений

Ответ:

Функция

Область определения

Множество значений

Итак, Областью определения функций y = sin x и y = cos x является множество R всех действительных чисел.

 Множеством значений функции y = sin x и y = cos x  является отрезок -1 ≤ y ≤ 1. Данные функции ограничены сверху и снизу.

Областью определения функции y = tg x  является множество чисел x ≠ π/2 + πk, kЄ Z.

Областью определения функции y = сtg x  является множество чисел x ≠ πk, kЄ Z.

Множеством значений функции y = tg x и y =сtg x  является множество R всех действительных чисел, т.к. уравнения tg x = a  и сtg x = a  имеют корни при любом действительном значении a. Функции неограниченные.

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля:

Пример 1. Найти область определения функции .

;

;

;

Ответ: .

Пример 2. Найти все решения уравнения

;

;

Ответ:

.

Предметы

По алфавиту По предметным областям

Классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6