Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Урок 9. Предел функции в точке. Непрерывность функции

Предел функции в точке. Непрерывность функции
Предел функции в точке. Непрерывность функции
Необходимо запомнить

ВАЖНО!

Функцию y = f (x) называют непрерывной в точке х = а, если предел функции y = f (x) при стремлении х к а равен значению функции в точке х = а.

Функция y = f (x) называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке промежутка.

Для вычисления предела функции в точке, как и для предела на бесконечности, используют правила «предел суммы», «предел произведения», «предел частного».

Правило 1. Предел суммы равен сумме пределов:

$\lim_{x\to a}(f(x)+g(x))= \lim_{x\to a}f(x) +\lim_{x\to a}g(x)$


Правило 2. Предел произведения равен произведению пределов:

$\lim_{x\to a}(f(x)\cdot g(x))=\lim_{x\to a}f(x)\cdot\lim_{x\to a} g(x)$



Правило 3. Предел частного равен частному пределов:

$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)}$

Предел функции в точке. Непрерывность функции

Рассмотрим задачу:

Используя $ε−δ$−определение предела, доказать, что $\lim_{x\to 2}x^2=4$.


Решение.

Предположим, что $δ=1$, т.е. $|x−2|\lt1$.

Пусть $ε\gt 0$ является произвольным положительным числом. Тогда можно записать следующее неравенство: |x2−4|< ε,⇒|x−2|*|x+2| < ε,⇒|x−2|*(x+2) < ε.

Так как наибольшее значение $x=3$ (в соответствии с выбранным выше значением δ), то получаем $5\cdot |x−2|\lt ε (если |x−2|\lt 1)$, или $|x−2|\lt \frac{ε}{2}$

Тогда для любого произвольного числа $ε\gt 0$ мы можем выбрать число $δ$ такое, что $δ=min(\frac{ε}{2},1$).

В результате неравенства в определении предела будут выполнены. Искомый предел доказан. 

Предел функции в точке. Непрерывность функции

Предел функции в точке. Непрерывность функции

Изобразите схематически график функции y= $\frac{3x^4-2}{x^3}$ , отметьте на нем его асимптоты.

Скачайте и распечатайте документ для выполнения задания

Предел функции в точке. Непрерывность функции

Предел функции в точке. Непрерывность функции

Изобразите схематически график функции $y= \frac{4x^5-1}{x^3}$ , отметьте на нем его асимптоты.

Загрузите и распечатайте документ для выполнения задания

Предметы

По алфавиту По предметным областям

Классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6