Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Урок 13. Производные элементарных функций

Производные элементарных функций
Производные элементарных функций
Необходимо запомнить

ВАЖНО!

Элементарными функциями называют степенную, показательную, логарифмическую и тригонометрические функции, а также их различные комбинации.

1) $(e^x)'=e^x$

2) $(e^{kx+b})'=ke^{kx+b}$

3) $(a^x)'=a^xlna$

4) $(lnx)'=\frac{1}{x},x>0$

5) $(ln(kx+b))'=\frac{k}{kx+b})$

6) $(log_ax)'=\frac{1}{x*lna}$

7) $(sin x)'=cos x$

8) $(cos x)' = -sin x$

Производные элементарных функций

Рассмотрим задачу:

найти значения х, при которых значение производной функции $f(x)=x^{2}−2ln x$ равно нулю; положительно; отрицательно.

Решение:

Найдем производную $f′(x)=2x−\frac{2}{x}=\frac{2(x^{2}−1)}{x}$

Стоит отметить, что равенство $(x^{2}−2 ln x)′=2x−\frac{2}{x}$

справедливо при тех значениях $х$, при которых обе части имеют смысл, т.е. при $x\gt 0$.

Выражение $\frac{2(x^{2}−1)}{x}$

равно нулю при $x_{1,2}=\pm 1$ , положительно на промежутках $−1\lt x\lt 0$ и $x\gt 1$;

Отрицательно на промежутках $x\lt −1$ и $0\lt x\lt 1$.

Так как $x\gt 0$,то $f′(x)=0$ только при $х=1;f′(x)\gt 0$ при $x\gt 1;f′(x)\lt 0$ при $0\lt x\lt 1$.

Предметы

По алфавиту По предметным областям

Классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6