Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Урок 18. Производная второго порядка. Выпуклость и точки перегиба

Производная второго порядка. Выпуклость и точки перегиба
Применение производной к исследованию функций
Необходимо запомнить

ВАЖНО!

Алгоритм нахождения интервалов выпуклости графика функции:

  • найти область определения функции;
  • найти вторую производную функции;
  • найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует;
  • найти интервалы, на которые область определения функции разбивается этими точками;
  • определить знаки второй производной на каждом интервале;
  • если $f '' (х) < 0$, то кривая выпукла вверх; если $f '' (х) > 0$ то кривая выпукла вниз;
  • точки, в которых вторая производная меняет знак - точки перегиба. 
Применение производной к исследованию функций

Задача:

Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции $y=\frac{1}{4}x^{4} - \frac{3}{2}x^2$.

Решение:

Область определения данной функции $D(y) = (-∞; +∞)$

Найдем вторую производную функции: $y’’ = 3x^2 – 3$

$y’’ = 0$ при $х = 1, х = -1$

Определим знаки второй производной на каждом интервале $(-∞; -1), (-1; 1), (1; +∞)$, используя метод интервалов.

Так как на интервалах $(-∞; -1) и (1; +∞)$ вторая производная положительна, то на этих интервалах функция выпукла вниз.

Так как на интервале $(-1; 1)$ вторая производная отрицательна, то на этом интервале функция выпукла вверх.

Так как при переходе через точки $х = 1$ и $х = -1$ вторая производная меняет знак, то эти точки являются точками перегиба.

Ответ:

  • функция выпукла вниз на интервалах $(-∞; -1), (1; +∞)$;
  • функция выпукла вверх на интервале $(-1; 1)$;
  • $х = 1, х = -1$ – точки перегиба.
Применение производной к исследованию функций

Скачайте изображение и соедините последовательно точки так, чтобы график функции имел одну точку перегиба.

Проверьте себя.

Предметы

По алфавиту По предметным областям

Классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6