Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Урок 25. Применение интегралов для решения геометрических и физических задач

Применение интегралов для решения геометрических и физических задач
Применение интегралов для решения геометрических и физических задач
Необходимо запомнить

ВАЖНО!

Применение интегралов

Физический смысл производной: если тело движется по закону $S = S(t)$, то скорость тела в момент времени $t_0$ равна значению производной функции $S(t)$ в этой точке, т. е. $v = S’(t_0)$. Тогда обратное утверждение: если скорость движения тела задана уравнением $v = v(t)$, то путь, пройденный телом от момента времени $t = a$ до момента времени $t = b$ равен

\[S=\int_a^b v(t)dt\]

Назовем скоростью роста популяции прирост числа особей в единицу времени.

Если известна скорость роста популяции $v(t)$, то прирост численности популяции $N(t)$ за промежуток времени от $t_0$ до $T$ равен \[N(T)-N(t_0)=\int_{t_0}^T v(t)dt.\]

Дневная выработка рабочего равна: $B=\int_a^b f(t)dt$ \[\int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)\] \[S=\int_a^b f(x)dx\] формула Ньютона - Лейбница.

Применение интегралов для решения геометрических и физических задач

Рассмотрим задачу:

Сила в 1$Н$ растягивает пружину на 3 см. Какую работу она при этом производит?

Решение.

При изучении производной мы говорили, что если $F$–сила, $А$ – работа $S$– перемещение, то $F = A’(S)$. Следовательно, нам предстоит решить обратную задачу.

Обратимся к физике.

Вспомните закон Гука. По закону Гука сила пропорциональна растяжению или сжатию пружины, т. е. $F = kx$, где $k$ – коэффициент пропорциональности, $x$ – величина растяжения или сжатия.

Используя данные задачи, найдите коэффициент $k$. т. к. $F = kx$, то чтобы найти $k$, подставим данные в задаче величины в уравнение, выражающее закон Гука. Получим: $k=\frac{1}{0,03}$

Следовательно, сила, растягивающая нашу пружину, выразится следующим образом: $F=\frac{1}{0,03}x$.

Так как сила начинает действовать на пружину в состоянии покоя, то работа $A=\int_0^{0,03} \frac{1}{0,03}xdx$ = $(\frac{1}{0,03}\frac{x^2}{2})=15Дж$

Ответ: 0,015 Дж

Применение интегралов для решения геометрических и физических задач

Применение интегралов для решения геометрических и физических задач

Изобрази фигуру, площадь которой равна данному интегралу.$\int_{-2}^0 (−2−3 х)dx$ и ограничена прямой $у=4$

Загрузите и распечатайте документ для выполнения задания

Применение интегралов для решения геометрических и физических задач

Применение интегралов для решения геометрических и физических задач

Нарисуй фигуры, площадь которой ограничена графиком функции $у=1-х^2$ и осью $0х$

Загрузите и распечатайте документ для выполнения задания

Применение интегралов для решения геометрических и физических задач

Применение интегралов для решения геометрических и физических задач

Нарисуй фигуру, площадь которой ограничена графиком функции у=2х−х2 , осью 0х

Загрузите и распечатайте документ для выполнения задания

Применение интегралов для решения геометрических и физических задач

Применение интегралов для решения геометрических и физических задач

Нарисуй фигуру, площадь которой ограничена графиком функции $у=-2х-х^2$ , осью 0х.

Загрузите и распечатайте документ для выполнения задания

Предметы

По алфавиту По предметным областям

Классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6