Алгебра и начала математического анализа. 11 класс
Применение интегралов для решения геометрических и физических задач
Применение интегралов для решения геометрических и физических задач
Необходимо запомнить
ВАЖНО!
Применение интегралов
Физический смысл производной: если тело движется по закону $S = S(t)$, то скорость тела в момент времени $t_0$ равна значению производной функции $S(t)$ в этой точке, т. е. $v = S’(t_0)$. Тогда обратное утверждение: если скорость движения тела задана уравнением $v = v(t)$, то путь, пройденный телом от момента времени $t = a$ до момента времени $t = b$ равен
\[S=\int_a^b v(t)dt\]
Назовем скоростью роста популяции прирост числа особей в единицу времени.
Если известна скорость роста популяции $v(t)$, то прирост численности популяции $N(t)$ за промежуток времени от $t_0$ до $T$ равен \[N(T)-N(t_0)=\int_{t_0}^T v(t)dt.\]
Дневная выработка рабочего равна: $B=\int_a^b f(t)dt$ \[\int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)\] \[S=\int_a^b f(x)dx\] формула Ньютона - Лейбница.
Применение интегралов для решения геометрических и физических задач
Рассмотрим задачу:
Сила в 1$Н$ растягивает пружину на 3 см. Какую работу она при этом производит?
Решение.
При изучении производной мы говорили, что если $F$–сила, $А$ – работа $S$– перемещение, то $F = A’(S)$. Следовательно, нам предстоит решить обратную задачу.
Обратимся к физике.
Вспомните закон Гука. По закону Гука сила пропорциональна растяжению или сжатию пружины, т. е. $F = kx$, где $k$ – коэффициент пропорциональности, $x$ – величина растяжения или сжатия.
Используя данные задачи, найдите коэффициент $k$. т. к. $F = kx$, то чтобы найти $k$, подставим данные в задаче величины в уравнение, выражающее закон Гука. Получим: $k=\frac{1}{0,03}$
Следовательно, сила, растягивающая нашу пружину, выразится следующим образом: $F=\frac{1}{0,03}x$.
Так как сила начинает действовать на пружину в состоянии покоя, то работа $A=\int_0^{0,03} \frac{1}{0,03}xdx$ = $(\frac{1}{0,03}\frac{x^2}{2})=15Дж$
Ответ: 0,015 Дж
Применение интегралов для решения геометрических и физических задач
Применение интегралов для решения геометрических и физических задач
Изобрази фигуру, площадь которой равна данному интегралу.$\int_{-2}^0 (−2−3 х)dx$ и ограничена прямой $у=4$
Загрузите и распечатайте документ для выполнения задания
Применение интегралов для решения геометрических и физических задач
Применение интегралов для решения геометрических и физических задач
Нарисуй фигуры, площадь которой ограничена графиком функции $у=1-х^2$ и осью $0х$
Загрузите и распечатайте документ для выполнения задания
Применение интегралов для решения геометрических и физических задач
Применение интегралов для решения геометрических и физических задач
Нарисуй фигуру, площадь которой ограничена графиком функции у=2х−х2 , осью 0х
Загрузите и распечатайте документ для выполнения задания
Применение интегралов для решения геометрических и физических задач
Применение интегралов для решения геометрических и физических задач
Нарисуй фигуру, площадь которой ограничена графиком функции $у=-2х-х^2$ , осью 0х.