ВАЖНО!

Сочетаниями из $n$ элементов по $m$ в каждом $(m ≤ n )$ называются такие соединения, каждое из которых содержит $m$ элементов, взятых из данных $n$ различных элементов, и которые отличаются одно от другого по крайней мере одним элементом.

Иногда такие сочетания называют сочетаниями без повторений.

Число всевозможных сочетаний из $n$ различных элементов по $m$ элементов обозначают $C_n^m$

Формула для подсчёта числа сочетаний:

$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$

Простейшие свойства сочетаний:

$C_n^0 = C_n^n = 1$

$C_n^1=C_n^{n-1}=n$

$C_n^m=C_n^{n-m}$

Бином Ньютона – формула разложения произвольной натуральной степени двучлена в многочлен.

Числа $Cn^m$ являются коэффициентами в формуле бинома Ньютона :

$(a+b)^n=a_n + C_n^1a^{n-1}b + C_n^2a^{n-2}b^2 + ... + C_n^{n-1}ab^{n-1} +b^n$

Для более простого подсчета коэффициентов Бинома Ньютона для невысоких степеней удобно пользоваться треугольником Паскаля:

По бокам в каждой строчке имеется коэффициент, равный единице. Все средние коэффициенты считаются, как сумма верхних, которые находятся над ними.

$$C_0^0$$

$$C_1^0 C_1^1$$

$$C_2^0 C_2^1 C_2^2$$

$$C_3^0 C_3^1 C_3^2 C_3^3$$

$$C_4^0 C_4^1 C_4^2 C_4^3 C_4^4$$

$$C_5^0 C_5^1 C_5^2 C_5^3 C_5^4 C_5^5$$

$$ ... ... ... ... ... ... $$

$$1$$

$$1\;1$$

$$1 \;2 \;1$$

$$1\; 3\;3\; 1$$

$$1 \;4 \;6 \;4 \;1$$

$$1 \;5 \;10 \;10 \;5 \;1$$

$$ ... ... ... ... ... $$

1) $C_n^0 = C_n^n = 1$

$$C_n^0=\frac{n!}{0!(n-0)!} = \frac{n!}{n!} = 1$$

2) $C_n^1=C_n^{n-1}=n$

$$C_n^1=\frac{n!}{1!(n-1)!}=\frac{(n-1)!n}{(n-1)!}=n$$

3) $C_n^m=C_n^{n-m}$

$$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$$

$$C_n^{n-m}=\frac{n!}{(n-m)!(n-n+m)!} = \frac{n!}{(n-m)!m!}$$