ВАЖНО!

При определении функции важным является тот факт, что каждому аргументу ставится в соответствие ровно одно значение функции;

Поэтому не всякая формула задает функцию и не всякая линия является графиком функции!

Разные виды функций имеют специфические свойства и графики;

Графики можно строить разными способами: по точкам с использованием таблицы, с помощью преобразований, на основе исследования свойств функции;

Основные свойства функции представлены областью определения, множеством значений, четностью (нечетностью), нулями, промежутками знакопостоянства, монотонностью, экстремумами.

Выявление свойств функций важно не только при построении их графиков. Многие уравнения решаются проще на основании свойств, входящих в них функций.

Использование области определения

Решить уравнение $\sqrt{x - 3} = \sqrt{3 - x}$

Найдем ОДЗ: $\begin{cases} & x-3 \geq 0 \\ & 3-x \geq 0\end{cases}$

$x = 3$. Проверим подстановкой, удовлетворяет ли $x = 3$ уравнению: $\sqrt{3 - 3} = \sqrt{3 - 3}$

Равенство верно, $x = 3$ – корень уравнения.

Использование монотонности

Решение некоторых уравнений основывается на утверждении: если функция $f(x)$ возрастает, функция $g(x)$ убывает на некотором промежутке, то уравнение $f(x) = g(x)$ имеет не более одного решения на данном промежутке.

Решить уравнение:

$\sqrt[8]{(2 - x^2)} = x^3 + x - 1$

ОДЗ: ${- \sqrt{2}} \leq x \leq {\sqrt {2}}$

Пусть $f(x) = \sqrt[8]{(2 - x^2)}$, $g(x) = x^3 + x - 1$

$g(x)$ возрастает на ОДЗ, $f(x)$ убывает, уравнение $f(x) = g(x)$ по утверждению имеет единственный корень. Найдем корень подбором $x=1$