Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Урок 48. Функции. Свойства функций и их графики. Исследование функций

Функции. Свойства функций и их графики. Исследование функций
Функции. Свойства функций и их графики. Исследование функций
Необходимо запомнить

ВАЖНО!

При определении функции важным является тот факт, что каждому аргументу ставится в соответствие ровно одно значение функции;

Поэтому не всякая формула задает функцию и не всякая линия является графиком функции!

Разные виды функций имеют специфические свойства и графики;

Графики можно строить разными способами: по точкам с использованием таблицы, с помощью преобразований, на основе исследования свойств функции;

Основные свойства функции представлены областью определения, множеством значений, четностью (нечетностью), нулями, промежутками знакопостоянства, монотонностью, экстремумами.

Функции. Свойства функций и их графики. Исследование функций

Выявление свойств функций важно не только при построении их графиков. Многие уравнения решаются проще на основании свойств, входящих в них функций.

Использование области определения

Решить уравнение $\sqrt{x - 3} = \sqrt{3 - x}$

Найдем ОДЗ: $\begin{cases} & x-3 \geq 0 \\ & 3-x \geq 0\end{cases}$

$x = 3$. Проверим подстановкой, удовлетворяет ли $x = 3$ уравнению: $\sqrt{3 - 3} = \sqrt{3 - 3}$

Равенство верно, $x = 3$ – корень уравнения.

Использование монотонности

Решение некоторых уравнений основывается на утверждении: если функция $f(x)$ возрастает, функция $g(x)$ убывает на некотором промежутке, то уравнение $f(x) = g(x)$ имеет не более одного решения на данном промежутке.

Решить уравнение:

$\sqrt[8]{(2 - x^2)} = x^3 + x - 1$

ОДЗ: ${- \sqrt{2}} \leq x \leq {\sqrt {2}}$

Пусть $f(x) = \sqrt[8]{(2 - x^2)}$, $g(x) = x^3 + x - 1$

$g(x)$ возрастает на ОДЗ, $f(x)$ убывает, уравнение $f(x) = g(x)$ по утверждению имеет единственный корень. Найдем корень подбором $x=1$

Предметы

По алфавиту По предметным областям

Классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6