Взаимное расположение прямых в пространстве

Угол между прямыми в пространстве

ВАЖНО!

Определение. Скрещивающиеся прямые – прямые, которые не лежат в одной плоскости.

Теорема. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся (не лежат в одной плоскости). 

Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Теорема. Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.

Теорема. Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.

Дано:

$\angle AOB$ и $\angle A_{1}O_{1}B_{1} OA$ и $O_{1}A_{1}$, $OB$ и $O_{1}B_{1}$ - сонаправленные лучи

Доказать: $O = O_{1}$

Доказательство:

1) $\left.\begin{array}{r}OA\;и\;O_1A_1\;-\;сонапр.\\OB\;и\;O_1B_1\;-\;сонапр.\end{array}\right\}\Rightarrow\left.\begin{array}{r}OA,\;O_1A_1\;\in\;\alpha\\OB,\;O_1B_1\;\in\;\beta\end{array}\right\}$

$O_{1}A_{1} = OA$, $O_{1}B_{1} = OB$

2) $\left.\begin{array}{r}OA\;=\;O_1A_1\\OA\;\parallel\;O_1A_1\end{array}\right\}\Rightarrow OAA_1O_1$ - параллелограмм $\left.\begin{array}{r}AA_1\;=\;OO_1\\AA_1\;\parallel\;OO_1\end{array}\right\}$

3) $OBB_{1}O_{1}$ - параллелограмм $\Rightarrow \left.\begin{array}{r}BB_1\;=\;OO_1\\BB_1\;\parallel\;OO_1\end{array}\right\}\Rightarrow$

4) $\left.\begin{array}{r}\left.\begin{array}{r}AA_1\;=\;OO_1\\AA_1\;\parallel\;OO_1\end{array}\right\}\\\left.\begin{array}{r}BB_1\;=\;OO_1\\BB_1\;\parallel\;OO_1\end{array}\right\}\end{array}\right\}\Rightarrow\begin{array}{c}AA_1\;=\;BB_1\\AA_1\;\parallel\;BB_1\end{array}\Rightarrow ABB_1A_1$ - параллелограмм и $AB = A_{1}B_{1}$

Доказательство:

При доказательстве ограничимся случаем, когда углы лежат в разных плоскостях.

1. Стороны углов сонаправлены, а значит, параллельны. Проведем через них плоскости, как показано на чертеже.

Отметим на сторонах угла O произвольные точки A и B.

На соответствующих сторонах угла O₁ отложим отрезки OA₁ и O₁B₁ равные соответственно ОA и OB.

2. В плоскости рассмотрим четырехугольник OAA₁O₁.

Так как противолежащие стороны OA и O₁A₁ этого четырёхугольника равны и параллельны по условию, то этот четырёхугольник – параллелограмм и, следовательно, равны и параллельны стороны AA₁ и OO₁.

3. В плоскости, аналогично можно доказать, что OBB₁O₁ параллелограмм, поэтому равны и параллельны стороны ВВ₁ и OO₁.

4. Если две отрезка AA₁ и BB₁ равны и параллельны третьему отрезку OO₁, значит, они равны и параллельны, т. е. АА₁ || BB₁ и AA₁ = BB₁.

По определению четырёхугольник АВВ₁А₁ – параллелограмм, из этого получаем АВ = А₁В₁.

5. Из выше построенного и доказанного АВ = А₁В₁, ОA = O₁A₁ и OB = O₁B₁ следует, что треугольники AOB и A₁ O₁ B₁. равны по трём сторонам, и поэтому О = О₁.

Скрещивающиеся прямые в пространстве

Скрещивающиеся прямые в пространстве

Загрузите и распечатайте документ для выполнения задания