Геометрия. 10 класс

Урок 5. Взаимное расположение прямых в пространстве

Расположение прямых в пространстве

Распределите рисунки по встречающимся в них типам расположения прямых

Некоторые подходят под несколько категорий, определите, с какими категориями соотносятся оставшиеся

Параллельно Пересекаются Скрещиваются
Расположение прямых в пространстве

Продолжите фразы, чтобы получилось верное высказывание:

Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости.
  1. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только
  2. Если стороны двух углов соответсвенно , то такие углы равны.
  3. Прямые, которые не лежат в одной плоскости называются
Угол между скрещивающимися прямыми

$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ – куб. Найдите угол между прямыми, содержащими отрезки AC и B1D1. Заполните пропуски в решении.

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости.

Решение:

Прямая  параллельна прямой B1D1 тогда угол между  и B1D1 равен углу между   и  , но  и   – диагонали квадрата, тогда они пересекаются под прямым углом, следовательно, ответ – 90°.

Расположение прямых в пространстве

Выберите верные утверждения:

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости.
Расположение прямых в пространстве

Любая прямая рассекает плоскость на две полуплоскости. Если лучи параллельны и лежат в одной полуплоскости, то они называются:

Примените определение сонаправленых прямых.

параллельными

сонаправлеными

перпендикулярными

Оранжевый
Угол между скрещивающимися прямыми

Заполнив пропуски, Вы сможете разгадать кроссворд:

Прямые ОB и CD параллельные, а АО и CD – скрещивающиеся прямые. Найдите угол между прямыми АО и CD, если $\angle$ АОВ = 135°.

Решение:

$\angle$ АОВ = 135°

$\angle АОВ_{1}$ = 180° – (1)____°, где В1 лежит по другую сторону от точки О, чем точка В

$\angle АОВ_{1}$ = (2)____°,

 значит, именно угол $\angle АОВ_{1}$, есть угол между прямыми АО и CD.

Ответ: $\angle АОВ_{1}$ = (3)____°.

Примените определение углов между скрещивающимися прямыми: Углом между скрещивающимися прямыми называют угол, который образуется между двумя параллельными заданными скрещивающимися прямыми
Расположение прямых в пространстве

Подчеркните верные высказывания о расположении прямых:

Примените определения скрещивающихся прямых, параллельных прямых
  1. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются. 
  2. Если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то другая прямая либо так же ей параллельна, либо лежит в этой плоскости. 
  3. Существует такая прямая, которая лежит в плоскости и параллельна прямой, пересекающей данную плоскость. 
  4. Скрещивающиеся прямые не имеют общих точек.
Прямая и плоскость

Постройте плоскость α, проходящую через точку К и параллельную скрещивающимся прямым а и b.

Варианты ответов:

К - 1

$a_{1}$ - 2

$b_{1}$ - 3

a - 4

b - 5

пересекающиеся - 6

параллельные - 7

Построение: (укажите порядковый номер ответа)

Обратите внимание, что точка лежит в одной плоскости с прямыми.
Вставьте пропуски в тексте

Поставьте напротив вопроса номер ответа:

1 – не скрещивающиеся

2 – скрещивающиеся

3 – лежат в одной плоскости

Расположение прямых в пространстве

ST – средняя линия треугольника BMC.

PQ – средняя линия треугольника AMD.

XY – средняя линия трапеции ABCD.

Найдите PQ и ST, если XY = 15 см, BC : AD = 1 : 4.

Данную задачу можно решить уравнением, приняв ВС за х

PQ = 11; ST = 4

PQ = 12; ST = 3

PQ = 10; ST = 4

PQ = 10; ST = 3

Скрещивающиеся прямые

Дан куб ABCDA1B1C1D1. Укажите (в алфавитном порядке) номера пяти прямых, проходящих через точку В1 и скрещивающихся с прямой А1D.

Варианты ответов:

1 - $B_{1}C_{1}$

2 - $BB_{1}$

3 - $AB_{1}$

4 - $DB_{1}$

5 - $B_{1}D_{1}$

Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости.
Угол между скрещивающимися прямыми

Длина ребра правильного тетраэдра ABCD равна 1. Найдите угол между прямыми DM и CL, где M — середина ребра BC, L — середина ребра AB.

Решение:

Поставьте напротив номера вопроса номер варианта ответа:

1. Пусть MF прямая, параллельная прямой ___ 2. и ___ точка её пересечения с AB.

3. Тогда искомый угол между прямыми DM и CL равен углу___.

4. Обозначим угол ____ буквой α. 

5. MF — средняя линия треугольника BCL, поэтому: 

$MF=\frac{1}{2}$ ___ $=\frac{\sqrt{3}}{4}$. 6. $BF=\frac{1}{2}$ (6)___ $=\frac{1}{4}$.

Выразим квадрат отрезка DF по теореме косинусов в двух треугольниках: DMF и BDF.

7. $DF^2=DM^2+MF^2-2DM·MF·cosα=$

= $BD^2 + BF^2-2BD · BF · cos60º$ 

Поскольку $DM=\frac{\sqrt{3}}{2}$ и BD = 1, подставляя числовые данные, получим: 

$\frac{3}{4}+\frac{3}{16}-2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \cos\alpha=$ 

$=1+\frac{1}{16}-2\cdot \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}$ Получаем, что cosα=__. 8. Ответ: arccos =__.


CL - 1

F - 2

DMF - 3

BL - 4

$\frac{1}{6}$ - 5

Для решения данной задачи воспользуйтесь теоремой косинусов: Для плоского треугольника, у которого стороны a, b, c и угол α, который противолежит стороне a, справедливо соотношение: $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc \cos\alpha$ Признаками подобия треугольников
Скрещивающиеся прямые

Точки М и К – центры граней куба. Докажите, что прямые А1М и В1К скрещиваются (запишите порядковые номера ответов).

Варианты ответов:

$ВВ_{1}$ - 1

$ЕЕ_{1}$ - 2

$РР_{1}$ - 3

$АА_{1}$ - 4

$КВ_{1}$ - 5

O - 6

$МА_{1}$ - 7

Доказательство:

Предметы

По алфавиту По предметным областям

Классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6 angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6