Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Урок 19. Решение задач с помощью производной

Решение задач с помощью производной
Решение задач с помощью производной
Необходимо запомнить

ВАЖНО!

Решение задач с помощью производной

Производная y’(x) функции y=f(x) – это мгновенная скорость изменения этой функции. 

В частности, если зависимость между пройденным путём S и временем t при прямолинейном неравномерном движении выражается уравнением S=f(t), то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определённый момент времени t нужно найти производную S’=f’(x) и подставить в неё соответствующее значение t, то есть v(t)=S’(t).


Производная от данной функции называется первой производной или производной первого порядка. Но если производная функции также является функцией, и если она дифференцируема, то от неё, в свою очередь, можно найти производную.

Производная от производной называется второй производной или производной второго порядка и обозначается f’’(x) или y’’(x) или $\frac{d^2 y}{dx^2}$.


Производная от второй производной называется производной третьего порядка и обозначается y’’’ или f’’’(x) Производную n-го порядка обозначают f(n)(x) или y(n)(x).

Если первая производная функции – это мгновенная скорость изменения любого процесса, заданного функцией, то вторая производная – это скорость изменения скорости, то есть ускорение, то есть a(t)= v’(t)= S’’(t) .

Первая производная – это скорость изменения процесса, вторая производная – ускорение. (v= S’; a=v’)

Решение задач с помощью производной

Решим задачу

Тело массой 3 кг движется прямолинейно по закону $S(t)=t^3-3t^2+5$. Найти силу, действующую на тело в момент времени $t=4$ c.

Решение: сила, действующая на тело, находится по формуле $F=ma$.

Найдём скорость движения точки в любой момент времени $t$.

$v=S'=(t^3-3t^2+5)'=3t^2-6t$

Тогда $v(4)=3·4^2-6·4=24$ (м/с). Найдём ускорение: $a(t)=v'=(3t^2-6t)'=6t-6$.

Тогда $a(4)= 6·4-6= 18$ (м/с2).

$F=ma=3·18= 54$ Н

Ответ: $F= 54$ Н

Предметы

По алфавиту По предметным областям

Классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6