Алгебра и начала математического анализа. 10 класс
Тригонометрические уравнения
Тригонометрические уравнения
Необходимо запомнить
ВАЖНО!
Вообще, если тригонометрическое уравнение включает в себя синус и косинус одного и того же аргумента, и одна из них содержится в уравнении в четной степени, а другая в нечетной, то в качестве новой переменной целесообразно рассматривать ту переменную, которая в уравнение входит в нечетной степени.
Например, в уравнении $4sin^3(3x)-3cos^2(3x)+6sin(3x)-10=0$
$sin(3x$) входит в первой и в третьей степени, а $cos(3x)$ - во второй.
Поэтому в качестве новой переменной будем рассматривать t=sin(3x).
Тогда $cos^23x=1-sin^23x$
и уравнение примет вид: $4sin^3(3x)-3(1-sin^2(3x))+6sin(3x)-10=0$
или $4sin^3(3x)+3sin^2(3x)+6sin(3x)-13=0$.
Это уравнение после замены сводится к алгебраическому третьей степени
$4t^3+3t^2+6t-13=0$
Оно имеет единственный корень t=1.
Поэтому $sin(3x)=1$
$3x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,k\in Z$
$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi k}{3},k \in Z$