Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Урок 41. Уравнение cos x = a

Уравнение cos x = a
Уравнение cos x = a
Необходимо запомнить

ВАЖНО!

Уравнение cos x = a.

На этом уроке вы познакомились с понятием "арккосинус числа" и с некоторыми простейшими тождествами.

Арккосинусом числа m (|m|≤1) называется такое число $\alpha$, что: $cos \alpha=m$ и $0\le \alpha \le \pi$.

Арккосинус числа m обозначают: arccos m.

Простейшие тождества для арккосинуса.

1) $cos(arccos m)=m$ для любого $m: |m| \le1$

2) $arccos(cos \alpha)=\alpha$ для любого $\alpha: 0\le\alpha\le\pi$

3) $arccos(-m)=\pi -arccos m$

Вы узнали, как решить простейшее тригонометрическое уравнение $cos\alpha=m$:

Решением такого уравнения являются все числа вида

 $\alpha= \pm arccos m + 2 \pi k, k \epsilon Z$


Уравнение имеет решение в том случае, когда $|m|\le1$.

Если $|m|=1$, то уравнение $cos\alpha=m$ имеет на отрезке $[0;2\pi]$ одно решение.

Если $|m|<1$, то уравнение $cos\alpha=m$ имеет на отрезке $[0;2\pi]$ два решения.

Уравнение cos x = a

Решим уравнение, которое сводится к решению уравнения с параметром

$\cos(x^{2}+2x+\frac{3\pi}{4})=-\frac{1}{2}$

Решение:

$\arccos(-\frac{1}{2})=\frac{2\pi}{3}$, поэтому

$x^{2}+2x+\frac{3\pi}{4}=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k, k\in Z$

$\left[\begin{gathered} x^{2}+2x+\frac{\pi}{12}-2\pi k=0 \\ x^{2}+2x+\frac{17\pi}{12}-2\pi k=0 \\ \end{gathered}\right.$, $k\in Z$


$\left[\begin{gathered} x=-1\pm \sqrt{1-\frac{\pi}{12}+2\pi k} \\ x=-1\pm \sqrt{1-\frac{7\pi}{12}+2\pi k} \\ \end{gathered}\right.$, $k\in Z$


Мы фактически получили два квадратных уравнения с параметром k.

Запишем их решения.

Первое уравнение имеет решение при условии:

$1-\frac{\pi}{12}+2\pi k \geq 0(1)$

Второе уравнение имеет решение при условии:

$1-\frac{\pi}{12}+2\pi k \geq 0(2)$

(1) $k\geq\frac{1}{24}-\frac{1}{2\pi}$,

так как k – целое, то $k \gt -1$, или $k\geq0$

(2) $k\geq\frac{7}{24}-\frac{1}{2\pi}$,

так как k – целое, то $k \gt 0$, или $k\geq1$

$\left[\begin{gathered} x=-1\pm \sqrt{1-\frac{\pi}{12}+2\pi k} \\ x=-1\pm \sqrt{1-\frac{7\pi}{12}+2\pi k} \\ \end{gathered}\right.$, $k\in Z$

$x=-1\pm\sqrt{1-\frac{\pi}{12}}$

Ответ:

а) $\left[\begin{gathered} x=-1\pm \sqrt{1-\frac{\pi}{12}+2\pi k} \\ x=-1\pm \sqrt{1-\frac{7\pi}{12}+2\pi k} \\ \end{gathered}\right.$, $k\in Z$, $k\geq1$,

б) $x=-1\pm\sqrt{1-\frac{\pi}{12}}$ при $k = 0$,

в) нет решений при $k \lt 0$.

Предметы

По алфавиту По предметным областям

Классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6