ВАЖНО!

Методы решения тригонометрических уравнений

Уравнение $f(x)g(x)=0$ равносильно на своей области определения совокупности 

\[\begin{cases} f(x)=0\\g(x)=0 \end{cases}.\]

Для того чтобы применить эту теоремы, нужно исходное уравнение привести к виду $f(x)g(x)=0$ используя разные тригонометрические формулы.

Рассмотрели решение уравнения вида:

$a(sinx \pm cosx)+bsinxcosx + c=0, ab \neq 0$ или $a(sinx \pm cosx)+dsin2x + c=0, ad \neq 0$

Для его решения мы вводили новую переменную $t=sinx \pm cosx$

Тогда $t^2 = (sinx \pm cosx)^2 = sin^2(x) \pm 2sinxcosx + cos^2(x)=1 \pm 2sinxcosx = 1 \pm sin2x$

Выразим отсюда $sinxcosx = \pm \frac{1}{2(t^2 - 1)}$ (или $sin2x = \pm (t^2 -1)$ ).

Также мы рассмотрели метод оценки, который основан на свойстве ограниченности тригонометрических выражений:

 $\lvert cos\alpha \rvert \leq 1$ и $\lvert sin\alpha \rvert \leq 1$

.

Рассмотрим решение уравнения: $cosxcos2xcos4x=\frac{1}{8}$

Решение:

Домножим обе части уравнения на $8sinx$:

$8sinxcosxcos2xcos4x=sinx.$

Проверим те значения переменной, при которой $sinx=0$:

$x=\pi m, m \epsilon Z$ не является решением исходного уравнения, поэтому мы должны будем удалить эти числа из полученного решения.

Теперь с помощью формулы синуса двойного аргумента преобразуем полученное уравнение:

$4sin2xcos2xcos4x=sinx$

$2sin4xcos4x=sinx$

$sin8x=sinx$

Теперь перенесем правую часть в левую и преобразуем по формуле преобразования разности синусов в произведение:

$sin8x-sinx=0$

$2sin3.5xcos4.5x=0$

$\begin{cases} sin3.5x=0\\ cos4.5x=0 \end{cases}$, $\begin{cases}x=\frac{2\pi k}{7}\\x=\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{9}\end{cases}, k, n \epsilon Z$

Учитывая, что $x\neq \pi m, m \epsilon Z$, получим $\begin{cases}x=\frac{2\pi k}{7}, k \neq 7t, k, t, \epsilon Z\\x=\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{9}, n \neq 4+9p, n, p \epsilon Z\end{cases}$

Ответ: $\begin{cases}x=\frac{2\pi k}{7}, k \neq 7t, k, t, \epsilon Z\\x=\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{9}, n \neq 4+9p, n, p \epsilon Z\end{cases}$