Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Урок 47. Методы решения тригонометрических уравнений

Методы решения тригонометрических уравнений

Решите уравнение. Найдите коэффициенты a, b, c

$ctg2x - ctg4x=ctg3x-ctg5x$

Ответ: $x=\frac{a\pi n}{b7}, n \neq ck$ $k, n \epsilon Z$

Представьте левую и правую части уравнения в виде произведения. Затем перенесите все в левую часть и разложите на множители.
Методы решения тригонометрических уравнений

Решите уравнение:

$\frac{1}{sinx}-1=ctgx-cosx$

Используйте метод разложения на множители, воспользуйтесь способом группировки

$x=\frac{-\pi}{2}+2\pi k, k\epsilon Z$

$x=2\pi k, k\epsilon Z$

$x=\pi +2\pi k, k\epsilon Z$

$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k, k\epsilon Z$

$x=\frac{\pi}{2}+\pi k, k\epsilon Z$

Методы решения тригонометрических уравнений

Найдите количество решений данного уравнения на отрезке $[0; \pi]$.

$sin^2 x + cos^2 x = sin2x + 1$

Убедитесь, что данное уравнение зависит от $sinx+cosx$ и от $sin2x$ и воспользуйтесь заменой переменной

Ответ:

Методы решения тригонометрических уравнений

Выделить цветом правильный ответ

$cos2(x+\frac{\pi}{6})+\pi n, n\epsilon Z$

Используйте формулу косинуса двойного аргумента, затем используйте замену переменной
  1. $x=(-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \epsilon Z$
  2. $x=(-1)^n \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \pi n, n \epsilon Z$
  3. $x=(-1)^n \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + \pi n, n \epsilon Z$
  4. $x=(-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \pi n, n \epsilon Z$
  5. $x=(-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + \pi n, n \epsilon Z$
Оранжевый
Методы решения тригонометрических уравнений

Составьте правильный ответ.

$cos^{2}3x+cos^{2}2x+cos^{2}x+cos^{2}4x=4$

Используйте формулы понижения степени, затем разложите на множители
Методы решения тригонометрических уравнений

Решите уравнение $2sinxcosx=sinx−cosx+\frac{1}{2}$ методом подстановки.

Восстановите решение, перетащив нужные элементы.

Проанализируйте вид данного уравнения, введите подходящую замену

Сделаем замену

Тогда 2sinxcosx=

Вспомогательное уравнение имеет вид:

Значения t=

sinx−cosx=

Получим уравнение

=

Или

=

В данном случае оба корня удовлетворяют допустимым значениям. Поэтому =

x=

x=

$sinx-cosx=t$
$1-t^2$
$1-t^2=t+\frac{1}{2}$
$\frac{-1\pm\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$
$\frac{-1\pm\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$
$\sqrt{2}sin(x-\frac{\pi}{4})$
$\frac{-1\pm\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$
$sin(x-\frac{\pi}{4})$
$\frac{-1\pm \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$
$sin(x-\frac{\pi}{4})$
$\frac{-1\pm \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$
$\frac{\pi}{4}+(-1)^n arcsin (\frac{-1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}})+\pi k, k\epsilon Z$
$\frac{\pi}{4}+(-1)^{n+1} arcsin (\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}})+\pi k, k\epsilon Z$
$\frac{\pi}{4}+(-1)^n arcsin(\frac{-1-\sqrt{3}}{\sqrt{2}})+\pi k, k\epsilon Z$
$\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$
$sinx+cosx=t$
$t^2 -1$
$\frac{1\pm\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$
$\frac{\pi}{4}+(-1)^n arcsin (\frac{-1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}) + \pi k, k\epsilon Z$
$sinx+cosx$
$tg\frac{x}{2}$
$\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi}{4})$
Методы решения тригонометрических уравнений

Решите уравнение:

$sin2x + sin6x=3cos^2 2x$

Найдите значения коэффициентов:

$x=\frac{\pi}{a} + \frac{\pi k}{b}$; $x=\frac{(-1)^m}{2}\arcsin \frac{c}{d} + \frac{\pi m}{2}$, $k,m \epsilon Z$

Преобразуйте сумму синусов в произведение
Методы решения тригонометрических уравнений

Решить уравнение: $4sin^4 x+7cos(2x)=1$

Подчеркните правильное решение

Воспользуйтесь формулой понижения степени
  1. $x=\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{4}, k \epsilon Z$
  2. $x=\frac{\pi}{4} + \pi k, k \epsilon Z$
  3. $x=\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \epsilon Z$
  4. $x=\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \epsilon Z$
  5. $x=\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{3}, k \epsilon Z$
Методы решения тригонометрических уравнений

Решите уравнение. Заполните пропуски в ответе

$sin2x=cos^4 x-sin^4 x$

Ответ: $x=\frac{A\pi}{B}+\frac{\pi k}{C}$

Воспользуйтесь формулой разности квадратов
Методы решения тригонометрических уравнений

Решите уравнение

$sin4xcos6x=cos4xsin6x+cos2x$

Найдите коэффициенты решения

$x=\frac{-a\pi}{b}+\frac{c\pi k}{d}, k\epsilon Z$

Воспользуйтесь формулой синуса разности аргументов
Методы решения тригонометрических уравнений

Решите уравнение. Найдите на отрезке $[0; 3]$

минимальное число x, удовлетворяющее уравнению

$cos^2 3x+cos^2 5x=sin^2 2x$

Воспользуйтесь формулой понижения степени

Ответ: $\pi$/

Методы решения тригонометрических уравнений

Выберите способ решения уравнения

$sin^3 x+cos^3 x=sin2x+1$

Вспомните методы решения уравнений

Замена $t=sinx+cosx$

Разложение на множители

Метод оценки

Домножение на выражение с переменной

Использование формул+разложение на множители

Методы решения тригонометрических уравнений

Решите уравнение. Найдите коэффициенты a, b, c

$cos2x-sin7xcos6x+cos7xsin6x=0$

$x=\frac{\pi}{a} + c\pi k$ $x=(-1)^n \frac{\pi}{b} +\pi k, k\epsilon Z$

Воспользуйтесь формулой синуса разности аргументов
Методы решения тригонометрических уравнений

Решите уравнение. Найдите коэффициенты

$sinx-cosx=4sinxcos2x$

$x=\frac{a\pi}{b}+c\pi k, k\epsilon Z$

Воспользуйтесь формулой косинуса двойного аргумента, затем разложите разность квадратов на множители

Предметы

По алфавиту По предметным областям

Классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6 angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6