ВАЖНО!

Однородные тригонометрические уравнения

Уравнение вида:

\[a_1f^n+a_2f^{n-1}g+a_3f^{n-2}g^2+...+a_{n+1}g^n = 0\] называется однородным.

f и g произвольные функции, $a_i$ коэффициенты.

Если f и g тригонометрические функции $\cos(kx)$ и $\sin(kx)$, то получим тригонометрическое однородное уравнение.

Оно решается с помощью деления на $\cos^n(kx)$ или на $\sin^n(kx)$.

$a\cos(kx) + b\sin(kx) = 0$ делим на $\cos(kx)$ и получим уравнение $btg(kx) =-a$

$a\sin^2(kx)+b\sin(kx)\cos(kx)+d\cos^2(kx)=0$ делим на $\cos^2(kx)$ и получим уравнение с $tg(kx)$:

$a tg^2(kx)+b tg(kx)+d=0$

В $a\sin^2(kx)+b\sin(kx)\cos(kx)+d\cos^2(kx)=c$ домножим $c$ на :$\sin^2(kx)+\cos^2(kx)$

Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки - замена синуса, косинуса и тангенса аргумента через тангенс половинного аргумента:

$\sin x= \frac{2tg(\frac{x}{2})}{1+tg^2\frac{x}{2}}$

$\cos x= \frac{1-tg^2\frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2}}$

$tg x= \frac{2tg(\frac{x}{2})}{1-tg^2\frac{x}{2}}$

Арккосинусом числа m (|m| $\leq$ 1) называется такое число

α, что: cos α = m и $0 \leq α \leq \pi$. Арккосинус числа m

обозначают: arccos m.

Арксинусом числа m (|m| $\leq$ 1) называется такое число α,

что: sin α = m и $\frac{-\pi}{2}\leq a \leq \frac{\pi}{2}$ Арксинус числа m обозначают: arcsin m.

Арктангенсом числа m называется такое число α, что: tgα = m и $\frac{-\pi}{2}\lt a\lt \frac{\pi}{2}$.

Арктангенс числа m обозначают: arctg m.

Арккотангенсом числа n называется такое число α, что:

ctg α = n и $0\lt α\lt \pi$. Арккотангенс числа n обозначают:

arcctg n.

Уравнение вида:

\[a_1f^n+a_2f^{n-1}g+a_3f^{n-2}g^2+...+a_{n+1}g^n = 0\]

называется однородным.

Здесь f и g произвольные функции, $a_{i}$ - коэффициенты.

Универсальная тригонометрическая подстановка - это

формулы для выражения синуса, косинуса и тангенса

аргумента через тангенс половинного аргумента:

$\sin x= \frac{2tg(\frac{x}{2})}{1+tg^2\frac{x}{2}}$

$\cos x= \frac{1-tg^2\frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2}}$

$tg x= \frac{2tg(\frac{x}{2})}{1-tg^2\frac{x}{2}}$