Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Урок 44. Тождества с арккосинусом, арксинусом, арктангенсом и арккотангенсом

Тождества с арккосинусом, арксинусом, арктангенсом и арккотангенсом
Тождества с арккосинусом, арксинусом, арктангенсом и арккотангенсом
Необходимо запомнить

ВАЖНО! 

Тождества с арккосинусом, арксинусом, арктангенсом и арккотангенсом.

На этом уроке мы научились вычислять не табличные значения обратных тригонометрических функций от тригонометрических функций, пользуясь тождествами:

$sin (arccos \alpha) = \sqrt{1-\alpha^2}$ и $cos (arcsin \alpha)= \sqrt{1-\alpha^2}$ , если $|\alpha \le 1|$

$tg (arcctg \alpha)=\frac{1}{\alpha}$ и $ctg (arctg \alpha)=\frac{1}{\alpha}$

$tg (arcsin \alpha)=\frac{\alpha}{\sqrt{1 - \alpha^2}}$ и $ctg (arcsin \alpha)=\frac{\sqrt{1 - \alpha^2}}{\alpha}$ ,если ${\sqrt{1 - \alpha^2}}$

$tg (arccos \alpha)=\frac{\sqrt{1 - \alpha^2}}{\alpha}$ и $ctg (arccos \alpha)=\frac{\alpha}{\sqrt{1 - \alpha^2}}$ ,если ${\sqrt{1 - \alpha^2}}$

$sin (arctg \alpha)=\frac{\alpha}{\sqrt{1 + \alpha^2}}$ и $cos (arcctg \alpha)=\frac{\alpha}{\sqrt{1 + \alpha^2}}$

$cos (arctg \alpha)=\frac{1}{\sqrt{1 + \alpha^2}}$ и $sin (arcctg \alpha)=\frac{1}{\sqrt{1 + \alpha^2}}$

Тождества с арккосинусом, арксинусом, арктангенсом и арккотангенсом

Вычисление значения выражения с обратными тригонометрическими функциями

Рассмотрим пример, связанный с вычислением выражения, включающего обратные тригонометрические функции 

Вычислить $sin (2arcsin \frac{4}{5})$ 

Воспользуемся для начала формулой синуса двойного аргумента и получим: $sin (2arcsin \frac{4}{5}) 2sin (arcsin \frac{4}{5}) cos (arcsin \frac{4}{5})$

Теперь, используем тождество $cos (arcsin \alpha) = \sqrt{1-\alpha^2}$ , если $|\alpha| \le 1$ 

Получаем: $sin (arcsin \frac{4}{5}) = \frac{4}{5}$

$cos (arcsin \frac{4}{5}) = \sqrt{1-(\frac{4}{5})^2 = \frac{3}{5}}$

Теперь получим окончательный результат: $2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{24}{25}$

Ответ: $\frac{24}{25}$

Предметы

По алфавиту По предметным областям

Классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6