ВАЖНО!

Степенью числа $a$ с показателем $n = 1$ является само это число: $a^1= a$

Любое число в нулевой степени равно единице: $a^0= 1$

Ноль в любой натуральной степени равен нулю $0^n= 0$

Единица в любой степени равна единице: $1^n=1$

Свойства степеней:

1. Произведение степеней с одним и тем же показателем равно степени с тем же показателем и основанием, равным произведению оснований: $a^n \cdot b^n= (a\cdot b)^n$
2. Произведение степеней с одним и тем же основанием – это степень с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей этих степеней, т.е. ${a^n} \cdot {a^m}=a^{n+m}$
3. Степень степени числа равна степени того же числа с показателем, равным произведению показателей этих степеней, т.е. $(a^n)^m=a^{n \cdot m}$

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

$\frac{{a} ^ {m}} {{a} ^ {n}} = {a} ^ {m-n}$, где $a$ — любое число, не равное нулю, а $m$, $n$ — любые натуральные числа такие, что $m\gt n$.

Примеры.

1. Записать частное в виде степени:

${(4х)} ^ {5}:{(4х)} ^ {3} = {(4х)} ^ {2} = {16х} ^ {2}$

2. Вычислить:

$\frac {{12} ^ {2} \cdot {12} ^ {7}} {{12} ^ {5} \cdot {12} ^ {2}} = \frac{{12} ^ {2+7}} {{12} ^ {5+2}} =\frac {{12} ^ {9}} {{12} ^ {7}} = {12} ^ {9-7} = {12} ^ {2} =144$

3. Решите уравнение:

$4^5:у = 4^3$

$у = 4^5:4^3$

$у = 4^2$

$у = 16$

Отметим, что в свойстве речь идёт только о делении степеней с одинаковыми основаниями.

Нельзя заменять разность $(5^3−5^2)$ на $5^1$. Это видно, если посчитать $(5^3−5^2) = (125 − 25) = 100$, а $5^1=5$

4. Найдите значение выражения:

$\frac {{2} ^ {6} + {2} ^ {5} + {2} ^ {4}} {{2} ^ {5} + {4} ^ {2}} = \frac{{2} ^ {6} + {2} ^ {5} + {2} ^ {4}} {{2} ^ {5} + {{(2} ^ {2} )} ^ {2}} =\frac {{2} ^ {6} + {2} ^ {5} + {2} ^ {4}} {{2} ^ {5} + {2} ^ {4}} = \frac{{2} ^ {4} ( {2} ^ {2} +2+1)} {{2} ^ {4} (2+1)}=\frac {{{2} ^ {4}} \cdot 7}{{{2} ^ {4}} \cdot 3} = \frac {7} {3} =2 \frac {1} {3}$