ВАЖНО!

Если $a$ любое действительное, отличное от нуля число, то:

$a^n=$ $\begin{equation*} \begin{cases} a....a, \text{если n натуральное число и n≥2} \\ a, \text{если n=1} \\ 1, \text{если n=0 }\\ \frac{1}{a^{-n}}, \text{если n- целое отрицательное число} \end{cases} \end{equation*}$

Докажем, что для чисел  

$a \neq 0$ , $b \neq 0$ , $k$ – целое, верно равенство:

$(\frac{a}{b})^{-k}=(\frac{b}{a})^k$

Доказательство.

Воспользуемся следующим равенством $a^{-m}=\frac{1}{a^m}$ $(a \neq 0)$, имеем:

$(\frac{a}{b})^{-k}=\frac{1}{(\frac{a}{b})^k}$

Но  

$\frac{1}{(\frac{a}{b})^k}=\frac{1}{\frac{a^k}{b^k}}=1 : \frac{a^k}{b^k}= 1 \cdot \frac{b^k}{a^k}=(\frac{b}{a})^k$ что и требовалось доказать.