Алгебра. 7 класс

Урок 30. Сумма кубов. Разность кубов

Сумма кубов. Разность кубов
Учим формулы
Куб числа
Равные многочлены
Неполный квадрат
Устный счёт
Необходимо запомнить

ВАЖНО!

Знать формулы сокращённого умножения.

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

$(a + b)(a -b) = a^2 - b^2 $

$a^3 + b^3=(a + b)(a^2 - ab + b^2) $

$a^3 -b^3=(a -b)(a^2 + ab + b^2)$

Уметь применять формулы:

  • для упрощения умножения многочленов;

  • для разложения многочлена на множители.

Тождественные преобразования

Рассмотрим несколько примеров более сложных преобразований.

Пример 1. Упростите выражение:

$(a^2 - 3)(a^4 + 3a^2 + 9) + a^4(1 - a)(1 + a) =(a^6 -27) + a^4(1 - a^2) =$

$= a^6 -27 + a^4 -a^6 = a^4 - 27$.

Пример 2. Разложите на множители:

$(a + 5)^3 - 27 = (a + 5)^3- 33 = (a +5 - 3)((a +5)^2 + (a +5) \cdot 3 + 3^2) =$

$= ( a + 2)( a^2 + 10a + 25 + 3a +15 +9) =(a + 2)(a^2 + 13a + 49)$.

Пример 3. Докажите, что выражение $(2n + 3)^3 + (3n + 2)^3$ кратно 5.

Преобразуем выражение, используя формулу суммы кубов. Заметим, что второй множитель сложный, но его можно не находить. Обозначим этот многочлен A.

$(2n + 3)^3 + (3n + 2)^3 =((2n + 3) + (3n +2))( A)$ 

$(5n + 5) (A) = 5(n +1) (A)$ делится на 5.

Важно! Выполняя тождественные преобразования:

- аккуратно вести записи;

- следить за знаками;

- проверять выполненные действия.

Предметы

По алфавиту По предметным областям

Классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6