ВАЖНО!

Формула квадрата суммы:

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Докажем, что при любом значении $c$ многочлен $9c^2 +30c + 25$ принимает положительные значения.

Доказательство.

Для доказательства воспользуемся формулой квадрата суммы. Представим многочлен $9c^2 +30c + 25$ в виде квадрата суммы.

Обратим внимание на первое и последнее слагаемое многочлена. Первое слагаемое это квадрат выражения $3c$, третье слагаемое квадрат числа $5$. Так как второе слагаемое равно удвоенному произведению числа $5$ и выражения $3c$, то этот трёхчлен можно представить в виде квадрата суммы $3c$ и $5$.

$9c^2 + 30c + 25 = (3c + 5)^2$

При этом квадрат любого числа всегда принимает положительное значение. Т.е. при любом значении с, многочлен $9c^2 + 30c + 25$ принимает положительные значения.

Что и требовалось доказать.