ВАЖНО!

Алгебраическое выражение, в котором несколько многочленов соединены знаками сложения, вычитания и умножения, называется целым выражением.

Сумма многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены этих многочленов. Разность двух многочленов – это сумма уменьшаемого и многочлена, противоположного вычитаемому.

Произведение одночлена и многочлена равно многочлену, членами которого являются произведения этого одночлена и каждого члена многочлена.

Правило приведения многочлена к стандартному виду:

1. Каждый член многочлена привести к стандартному виду;
2. Привести подобные члены.

Докажите, что это целое выражение является нулевым многочленом.

$(2х + у)(2х - у) - (k + 2х)(k - 2х) + (k^2 + у^2 - 8х^2)$

Доказательство.

Для доказательства этого утверждения упростим целое выражение. Для этого раскроем скобки и приведём к стандартному виду полученное выражение.

$(2х + у)(2х - у) - (k + 2х)(k - 2х) + (k^2 + у^2 - 8х^2) =$

$= 2х \cdot 2х + 2х(-у) + 2ху - уу - (kk + k(-2х) + 2kх + 2х \cdot (-2х))+$

$+k^2+ у^2 - 8х^2 = 4х^2 - у^2 - (k^2 - 4х^2) + k^2 + у^2 - 8х^2 =$

$= 4х^2 - у^2 - k^2 + 4х^2 + k^2 + у^2 - 8х^2 =$

$= (4 + 4 - 8)х^2 + (1 - 1)у^2 + (1 - 1)k^2 = 0х^2 + 0у^2 + 0k^2 = 0$

Полученный многочлен является нулевым, что и требовалось доказать.