Алгебра. 7 класс

Урок 49. Решение задач при помощи систем уравнений первой степени

Решение задач при помощи систем уравнений первой степени
Решение задач при помощи систем уравнений
Решение задач при помощи систем уравнений
Составление краткой записи к задаче
Решение системы уравнений
Составление системы уравнений по условию задачи
Необходимо запомнить

ВАЖНО!

Решая задачу алгебраическим способом, вы можете составить как уравнение, так и систему уравнений. И в том, и другом случае, необходимо пройти 3 этапа:

  1. Разбор условия задачи и составление уравнения или системы уравнений. На данном этапе может быть выполнена краткая запись или рисунок к задаче.
  2. Решение составленного уравнения или системы уравнений.
  3. Использование полученного решения для ответа на вопрос задачи.
Системы уравнений первой степени с тремя неизвестными

Решим задачу алгебраическим способом.

Задача: Даны $3$ числа, сумма которых равна $23$. Если к удвоенному первому числу прибавить второе число и вычесть третье, то получится $32$. А если из первого числа вычесть удвоенное второе и прибавить третье, то получится $8$.

В задаче $3$ неизвестных, поэтому введем следующие обозначения:

Пусть $х$ – первое число, у – второе число, $z$ – ё третье число.

Мысленно разделим условие задачи на $3$ части, по каждой из которых составим уравнение с тремя неизвестными:

Сумма трех чисел равна $23$, значит $х + у + z = 23$.

Удвоенное первое число равно $2х$. Получаем уравнение: $2х + у – z = 32$.

Удвоенное второе число равно $2у$. Составляем уравнение: $х – 2у + z = 8$.

Объединяем три уравнения в систему:

$\begin{cases}x+y+z=23,\\2x+y-z=32,\\x-2y+z=8\end{cases}$

Мы получили систему трёх уравнений первой степени с тремя неизвестными. Покажем, как можно решить эту систему уравнений способом подстановки. Из третьего уравнения системы выражаем $х$ через $y$ и $z$ : $х = 8 + 2у – z$. И подставляем $8 + 2у-z$ вместо $х$ в первое и второе уравнение. Получаем систему уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases}8+2y-z+y+z=23,\\2(8+2y-z)+y-z=32\end{cases}$

Приведем подобные члены:

$\begin{cases}8+3y=23,\\5y-3z=16\end{cases}$

Таким образом, мы свели систему уравнений с тремя неизвестными к системе уравнений с двумя неизвестными.

Решая систему, находим, что $у_0 = 5$, $z_0 = 3$.

Подставим $у_0$ и $z_0$ в $х = 8 + 2у-z$, находим, что $х_0 = 15$.

Таким образом, мы решили систему трёх уравнений с тремя неизвестными.

Вернемся к условию задачи: первое число $15$, второе число $5$, третье число $3$. 

Предметы

По алфавиту По предметным областям

Классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6