Алгебра. 7 класс
Уравнения первой степени с двумя неизвестными
Математические термины
Стандартный вид
Стандартный вид
Определение
Значение переменной
Необходимо запомнить
ВАЖНО!
Определение.
Уравнение вида $ax + by =c$, где $x$ и $y$ – неизвестные и свободный член c – любые действительные числа, называется линейным уравнением с двумя неизвестными.
$ax + by =c$ – нормальный вид такого уравнения.
Каждая пара значений x и y, удовлетворяющая уравнению с двумя неизвестными, называется решением этого уравнения.
Линейное уравнение с двумя неизвестными обычно имеет бесконечное множество решений и поэтому называется неопределенным уравнением.
Если в уравнении первой степени с двумя неизвестными коэффициент при y равен нулю, то получим уравнение с одним неизвестным ($x$). Например:
$5x - 0y = 7$;
$5x = 7$;
$x = 1,4$.
Графиком последнего уравнения, а поэтому и двух других равносильных ему уравнений, является прямая, параллельная оси ординат.
Итак, графиком уравнения $ax + by = c$, если $a$ и $b$ не равны нулю одновременно, является прямая линия. Ее обычно строят по точкам пересечения с осями координат. Если $a = 0$ и $b = 0$, то возможны два случая:
1) $0x + 0y =17$ или $0 = 17$ – уравнение не имеет ни одного решения и ему не удовлетворяют координаты ни одной точки плоскости;
2) $0x + 0y = 0$ или $0 = 0$ – уравнение имеет бесчисленное множество решений (причём значения $x$ и $y$ здесь даже не зависят друг от друга) и ему удовлетворяют координаты всех точек плоскости.
Задача на составление неопределенного уравнения
Трёхногие инопланетяне выгуливают на лужайке своих двуногих питомцев. Кто-то подсчитал, сколько ног ходит по лужайке. Их оказалось $15$. Сколько было инопланетян и сколько их питомцев?
Необходимо ввести две переменные: $x$ – число инопланетян, $y$ – число питомцев, тогда получим уравнение $3x + 2y = 15$.
Давайте же узнаем сколько инопланетян выгуливало своих питомцев.
$3x + 2y = 15$. Выразим y через $x$: $y=\frac{15-3x}{2}$, далее воспользуемся методом перебора: при $x = 1$, $y = 6$, при $x = 2$, $y\: \notin \: N$ , при $x = 3$, $y = 3$.
Ответ: $1$ инопланетянин и $6$ питомцев; $3$ инопланетянина и $3$ питомца.
Подобные уравнения встречаются часто, они-то и называются неопределенными. Особенность их состоит в том, что уравнение содержит две или более переменных и требуется найти все целые или натуральные их решения. Такими уравнениями и занимался Диофант. Он изобрел большое число способов решения подобных уравнений, поэтому их часто называют диофантовыми уравнениями.