Алгебра. 7 класс

Урок 50. Линейные диофантовы уравнения

Линейные диофантовы уравнения

На прошлых уроках мы решали задачи при помощи систем уравнений. Мы составляли уравнение с двумя переменными для каждой части условия задачи. Что произойдет, если убрать из условия одну часть? Например, в задаче о пастухах. У нас останется одно уравнение с двумя переменными, у которого бесконечно много решений. Сегодня мы будем решать такие уравнения.

Цели и задачи

Цель:

  • научиться решать линейные диофантовы уравнения.

Задачи:

  • ввести понятие диофантова уравнения;
  • познакомиться с некоторыми фактами жизни и творчества древнегреческого ученого Диофанта;
  • решать задачи с помощью диофантовых уравнений.
Узнаем, научимся, сможем

На уроке

мы узнаем:

  • что такое диофантово уравнение;

мы научимся:

  • решать диофантовы уравнения;

мы сможем:

  • решать задачи с помощью диофантовых уравнений.
Преобразование выражений

Давайте проверим, можно ли получить единственно верное решение задачи, составим одно уравнение с двумя переменными.

Заполните пропуски в решении.

Двенадцать человек несут 12 хлебов; каждый мужчина несёт по 2 хлеба, женщина по половине хлеба; ребёнок – по четверти хлеба. Сколько было мужчин, женщин и детей?

Пусть было х мужчин, у женщин, тогда детей было $12 - х - у$. Все вместе они несли:

$2x+ \frac{1}{2}y+ \frac{1}{4}(12-x-y)$ хлебов. А по условию задачи это 12 хлебов.

Составим уравнение: $2x+ \frac{1}{2}y+ \frac{1}{4}(12-x-y)=12$

Раскроем скобки в левой части уравнения: $2x+\frac{1}{2}y+3-\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}y=12$;

Умножим обе части уравнения на 4:

$8x+2y+12-x-y=48$;

Получим уравнение:

$7x+y=36$.

Так как за х, у, мы принимали число людей, они должны принимать натуральные значения. Составим всевозможные пары решения уравнения:

(1;29)

(2; )

(3; )

(4; )

(5; )

Но $12-x-y$ – число детей, поэтому $12-x-y$ тоже должно быть натуральным числом.

Получается, условию задачи соответствует только пара ( ; ).

Таким образом, было мужчин, женщина и детей.

Предметы

По алфавиту По предметным областям

Классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6