Геометрия. 7 класс
Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника
Теорема
Соотношения между углами и сторонами треугольника
Неравенство треугольника
Прямоугольный треугольник
Тупоугольный треугольник
Необходимо запомнить
ВАЖНО!
Следствие Для любых трёх точек A, B и C, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства:
AB < AC + CB,
AC < AB + BC,
BC < BA + AC.
Следствие 1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
Признак равнобедренного треугольника. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
Задача на доказательство
Решим задачу на доказательство, используя теоремы о соотношениях между углами и сторонами треугольника.
Докажем, что в произвольном треугольнике, если медиана и высота проведены из одной вершины, то эта медиана не меньше высоты, проведённой из той же вершины.
Дано: ∆АВС.
ВМ – медиана,
ВН – высота.
Доказать: ВМ ≥ ВН.
Доказательство:
Рассмотрим случай , если АВ ≠ ВС. То ВМ и ВН не совпадают (т.к. по свойству равнобедренного треуголника, высота и медиана совпадают, если проведены к его основанию).
Рассмотрим ∆ВНМ – прямоугольный ( по определению прямоугольного треугольника), т. к. ∠Н = 90°, при этом угол в 90° единственный в данном треугольнике ( по теореме о сумме углов треугольника) →∠Н – самый большой → ВМ > ВН (по обратной теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника).
Рассмотрим ещё случай АВ = ВС → ∆АВС – равнобедренныый (по определению равнобедренного треугольника). То ВМ = ВН (по свойству равнобедренного треугольника, высота и медиана совпадают, если проведены к его основанию) → ВМ ≥ ВН. Что и требовалось доказать.