Геометрия. 7 класс

Урок 24. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника

Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника
Теорема
Соотношения между углами и сторонами треугольника
Неравенство треугольника
Прямоугольный треугольник
Тупоугольный треугольник
Необходимо запомнить

ВАЖНО!

Следствие Для любых трёх точек A, B и C, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства:

AB < AC + CB,

AC < AB + BC,

BC < BA + AC.

Следствие 1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Признак равнобедренного треугольника. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

Задача на доказательство

Решим задачу на доказательство, используя теоремы о соотношениях между углами и сторонами треугольника.

Докажем, что в произвольном треугольнике, если медиана и высота проведены из одной вершины, то эта медиана не меньше высоты, проведённой из той же вершины.

Дано: ∆АВС.

ВМ – медиана,

ВН – высота.

Доказать: ВМВН.

Доказательство:

Рассмотрим случай , если АВ ≠ ВС. То ВМ и ВН не совпадают (т.к. по свойству равнобедренного треуголника, высота и медиана совпадают, если проведены к его основанию).

Рассмотрим ∆ВНМ – прямоугольный ( по определению прямоугольного треугольника), т. к. ∠Н = 90°, при этом угол в 90° единственный в данном треугольнике ( по теореме о сумме углов треугольника) →∠Н – самый большой → ВМ > ВН (по обратной теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника).

Рассмотрим ещё случай АВ = ВС → ∆АВС – равнобедренныый (по определению равнобедренного треугольника). То ВМ = ВН (по свойству равнобедренного треугольника, высота и медиана совпадают, если проведены к его основанию) → ВМ ≥ ВН. Что и требовалось доказать.

Предметы

По алфавиту По предметным областям

Классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6