Геометрия. 7 класс

Урок 25. Прямоугольные треугольники

Прямоугольные треугольники
Прямоугольный треугольник
Острый угол
Построение
Равнобедренный треугольник
Градусная мера угла
Необходимо запомнить

ВАЖНО!

Остроугольный треугольник – треугольник, у которого все углы острые.

Тупоугольный треугольник – треугольник, у которого два угла острые, а третий – тупой.

Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого два угла острые, а один – прямой, т. е. равный 90°. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны – катетами.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с любым углом треугольника. Его градусная мера равна сумме двух углов треугольника, несмежных с ним.

Свойства прямоугольных треугольников

  1. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
  2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы.
  3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

  1. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
  2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему другого, то такие треугольники равны.
  3. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
  4. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны. 
Четвёртый признак равенства прямоугольных треугольников

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны. 

Доказательство. Совместим наложением треугольники АВС и КХМ. Предположим, что вершины А и К, а также С и М совместились наложением, а вершина В и точка Х не совпадают. Именно этот случай указан на рисунке:

В данном случае мы можем заметить равнобедренный треугольник АВХ (по определению – по условию АВ = АХ). Значит, по свойству, ∠АХВ = ∠АВХ. Воспользуемся определением внешнего угла. Внешним углом треугольника называется угол, смежный с любым углом треугольника. Его градусная мера равна сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. Следовательно, внешний угол больше каждого из углов, не смежных с ним.

АВХ является внешним углом для треугольника АВС и равен сумме ∠АВХ = ∠САВ + ∠АСВ = ∠АВС = ∠САВ + 90о. Таким образом, ∠АХВ не может быть равен углу ∠АВВ1, потому что он тупой, исходя из доказанного ранее.

Значит, наше предположение касательно расположения точек В и В1 оказалось неверным, следовательно, эти точки совпадают. А значит, треугольники АВС и А1В1С1 совместились наложением. Поэтому они равны (по определению).

Предметы

По алфавиту По предметным областям

Классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
angle-skew-bottom mix-copy next-copy-2 no-copy step-1 step-2 step-3 step-4 step-5 step-6 step-6